【数学史】质数的平方和密码：费马的百年猜想与欧拉的最终证明

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【数学史】质数的平方和密码：费马的百年猜想与欧拉的最终证明

原创  酉木木  梧桐阅览  2026 年 2 月 17 日 13:50  湖北

在人类探索数学的漫长历史中，数论一直被誉为“数学的皇冠”，而关于质数的种种规律，则是皇冠上最耀眼、也最神秘的宝石。质数，这些只能被 1 和自身整除的整数，看似简单，却藏着无数让数学家魂牵梦绕的谜题。人类从未停止对质数的追问，而在数论发展的关键节点上，两位巨匠的名字永远紧紧相连——皮埃尔·德·费马与莱昂哈德·欧拉。

他们之间跨越百年的对话，并非面对面的交流，而是以一个简洁优美的猜想为纽带，将 17 世纪的天才直觉与 18 世纪的严谨证明紧紧编织在一起，最终诞生了数论史上经典的费马平方和定理。这条定理只有一句话，简洁美丽：一个奇质数可以表示为两个整数的平方和，当且仅当这个质数除以 4 余 1 ；而所有除以 4 余 3 的质数，永远无法写成两个整数的平方和。



这短短一句话，从提出到被严格证明，足足等待了一百多年。它的故事，既是数学史上一段温柔而执着的传奇，也是人类理性精神最动人的缩影。

在空白处书写历史的费马

17 世纪的欧洲，数学正从古典时代的框架中挣脱出来，迈向更广阔、更抽象的天地。而在这股浪潮中，最特别的一位人物，莫过于法国律师皮埃尔·德·费马。他并非职业数学家，既不在大学任教，也不依靠数学研究谋生，数学对他而言，只是繁忙公务之余的消遣。可就是这样一位“业余爱好者”，却在数论、几何、概率等多个领域留下了开创性的贡献，被后世尊称为“业余数学家之王”。



费马的研究习惯极为独特。他很少正式发表论文，更偏爱在阅读的书籍空白处随手写下自己的思考、结论与猜想。他最著名的一句批注，写在古希腊数学家丢番图《算术》一书的页边：“我已经发现了一个真正美妙的证明，只是这里的空白太小，写不下。”这句话，后来成为数学史上最著名的“留白”，也让费马大定理困扰了人类三百多年。



而在他留下的众多猜想中，费马平方和猜想是最早、最简洁、也最深刻的一个。

1640 年 12 月 25 日，费马在写给挚友梅森的信中，第一次系统阐述了他关于质数与平方和的观察。他注意到一个惊人的规律：所有的奇质数，似乎可以被一个极其简单的标准分成两类。

第一类，是除以 4 之后余数为 1 的质数，比如 5、13、17、29 ……

5=1^2+2^2 ，

13=2^2+3^2 ，

17=1^2+4^2 ，

29=2^2+5^2 ，

无一例外，都能顺利拆成两个整数的平方和。

第二类，是除以 4 之后余数为 3 的质数，比如 3、7、11、19、23 ……

无论人们如何尝试，这些数字永远无法表示为两个整数的平方相加。

费马在信中断言，这不是巧合，而是一条普遍成立的数学规律。他甚至宣称，自己已经使用一种名为“无穷递降法”的方法，完成了对这个命题的完整证明。然而，和他许多伟大的发现一样，费马始终没有将证明过程公之于众。他只留下了结论，留下了一句“我已证出”，便将这个难题抛给了后世。

在今天看来，费马的行为似乎有些“任性”，但放在 17 世纪的学术环境中，这并不罕见。当时的数学家更热衷于彼此通信交流发现，而非系统整理发表。可对后来者而言，费马留下的不是答案，而是一道横跨百年的关卡。

看似简单的百年悬案

初看费马平方和猜想，任何人都会觉得它“简单得不像难题”。

我们可以用非常基础的数学知识，快速理解其中一半的结论：为什么模 4 余 3 的质数，一定不能写成两个平方数之和。

整数的平方，在除以 4 之后，只会出现两种结果：

如果一个数是偶数，(2k)^2=4k^2 ，模 4 余 0 ；

如果一个数是奇数，(2k+1)^2=4k^2+4k+1 ，模 4 余 1 。

也就是说，任何平方数模 4 只能是 0 或 1 。那么两个平方数相加，模 4 的结果只可能是 0 、1 或 2 ，绝对不可能出现 3 。

这一步推理，初中生就能看懂。也正因为如此，很多人会误以为，费马的猜想不过是一条显而易见的结论。

但真正的难题，藏在另一半：如何证明，所有模 4 余 1 的质数，一定都能写成两个平方数之和？

“不能拆”容易证明，“一定能拆”却难如登天。

从费马提出猜想之后的一百多年里，无数数学家前赴后继，试图攻克这道看似简单的关卡。有人验证了成百上千个质数，发现无一例外都符合规律；有人尝试改进方法，却始终无法突破逻辑的壁垒；还有人甚至怀疑，费马那句“我已证明”只是一句自负的空话。

在那个没有计算机、没有现代数论工具的时代，数学家们只能依靠纸笔与纯粹的逻辑推演，在抽象的数字世界里摸索。而费马平方和猜想，就像一扇紧闭的大门，门外是人人可见的规律，门内却是无人能踏入的证明殿堂。

这扇门，最终由 18 世纪最伟大的数学家——莱昂哈德·欧拉，亲手推开。

关键钥匙：质数的二次剩余类

在走进欧拉的证明之前，我们必须先认识一个重要的数学概念——二次剩余。正是这个看起来有些抽象的名词，成为了破解费马猜想的核心钥匙。

用最通俗的话来讲：

在一堆整数里，某些数可以写成另一个数的平方，而有些数永远不行。如果把所有平方数都除以一个质数 p ，只看余数，那么能以“平方余数”形式出现的数，就叫模 p 的二次剩余。

举个最简单的例子：模 5 。

我们把 1、2、3、4 分别平方，再除以 5 看余数：

1^2 = 1 → 余 1

2^2 = 4 → 余 4

3^2 = 9 → 9÷5 余 4

4^2 = 16 → 16÷5 余 1

所以，在模 5 的世界里，平方数的余数只有 1 和 4 。

这两个数，就叫做模 5 的二次剩余。

而 2 和 3 永远不会成为平方余数，它们就是模 5 的二次非剩余。

再换一个质数，比如 p=7 ：

1^2=1 → 余 1

2^2=4 → 余 4

3^2=9 → 余 2

4^2=16 → 余 2

5^2=25 → 余 4

6^2=36 → 余 1

余数只有 1、2、4，它们是模 7 的二次剩余；

剩下 3、5、6 就是模 7 的二次非剩余。

你会发现一个规律：

在质数 p 之下，恰好有一半的数是二次剩余，另一半是非剩余。

它们像两个阵营，界限分明，互不重叠。

而欧拉证明费马平方和定理时，最关键的一步就是证明了一条超级重要的结论：

如果 p 是形如 4k+1 的质数，那么 -1 一定是模 p 的二次剩余。

这句话翻译成大白话就是：

只要质数 p 除以 4 余 1 ，就一定能找到一个整数 x ，使得 x^2+1 是 p 的倍数。

正是这一步，打通了整个证明的命脉。

它让“平方和”从一个看似随机现象，变成了必然成立的数学事实。

七年磨一剑：欧拉为猜想加冕为定理

如果说费马是凭直觉点亮星空的天才，那么欧拉就是将星光铺成坦途的巨匠。

欧拉是人类历史上最高产的数学家，一生写下 800 多篇论文，双目失明后仍以口述的方式坚持研究。他的研究覆盖代数、分析、几何、数论、物理、天文等几乎所有领域，今天我们使用的许多符号，比如函数 f(x) 、圆周率 π 、自然常数 e 、求和符号 Σ ，都来自欧拉的规范。



而在数论领域，欧拉最大的贡献之一，就是系统整理并证明了费马留下的一系列猜想，让那些零散而神秘的结论，变成严谨可靠的定理。费马平方和猜想，正是他最重要的目标之一。

从 1740 年开始，欧拉便将大量精力投入到这个问题中。他先是仔细研读费马留下的书信与批注，试图还原费马口中的“无穷递降法”，随后一步步构建引理、完善逻辑。这一钻研，就是整整七年。

1747 年，欧拉终于公开了完整、严谨、无懈可击的证明，费马平方和猜想，正式成为费马平方和定理。此时距离费马在信中提出猜想，已经过去了 107 年。

欧拉的证明并不依赖高深复杂的工具，却充满精巧的构思，核心可以分为三个关键步骤：

第一步，利用二次剩余的性质，证明对于任何 4k+1 型质数 p ，-1 一定是模 p 的二次剩余。这意味着一定存在整数 x ，让 x^2 ≡ -1 mod p ，也就是 x^2+1 能被 p 整除。

第二步，由上一步可以推出，存在整数 x 和 y ，使得 x^2+y^2 = m·p ，其中 m 是一个小于 p 的正整数。这一步把问题从“是否存在”变成了“如何缩小范围”。

第三步，使用费马在信件中提到的“无穷递降法”，不断把 m 的值往下减小，直到让 m=1 ，最终直接得到：

x^2 + y^2 = p 。

无穷递降法的思想非常优雅：

如果这个质数不能写成平方和，就会出现一个“最小的反例”；

但我们总能根据“最小的反例”构造出一个“更小的反例”，矛盾出现，因此假设不成立。

所以，所有 4k+1 型质数，一定能写成两数的平方和。

欧拉没有费马式的天才留白，他把每一步推理写得清晰透彻，让每一个阅读证明的人都能沿着逻辑的道路，抵达真理的终点。他用七年的坚持，兑现了费马百年前的承诺，让一句猜想，成为永恒的定理。

平方和背后的数学力量

费马平方和定理看似只是一条关于质数拆分的小结论，却在数学史上拥有远超其篇幅的重量。它不仅是初等数论的经典定理，更是现代数学重要思想的源头。

首先，它第一次清晰展示了模运算的强大力量。一个数字的本质特征，居然可以通过简单的除法余数完全揭示，这为后来的同余理论、二次互反律奠定了基础。欧拉在证明平方和定理的过程中，系统发展了二次剩余理论，而这一理论，又被高斯进一步完善，成为数论的基石。

其次，它连接了加法结构与乘法结构。质数是乘法世界的基本单元，平方和是加法世界的简单组合，费马平方和定理，在两种看似无关的结构之间架起了桥梁，开启了加法数论与乘法数论交叉研究的先河。

更重要的是，它成为了代数数论的萌芽。在后来的数学家眼中，两个平方和的形式，可以被理解为高斯整数 a+bi 的范数。费马平方和定理，本质上是对高斯整数中质数分解规律的描述。这条诞生于 17 世纪的猜想，最终指引着数学走进更抽象、更深刻的代数世界。

一条短短一句话的定理，却能延伸出如此丰富的数学内涵，这正是数论的魅力所在。

跨越百年的对话：数学最动人的传承

回望费马与欧拉的故事，我们看到的不是两个人的竞争，而是一场跨越百年的精神接力。

费马站在近代数论的起点，凭借敏锐的直觉，在书页的空白处写下预言。他像一位先行者，在迷雾中指出方向，却没有留下完整的地图。

欧拉则是一位建设者，他沿着先行者的足迹，用严谨、耐心与才华，铺就一条坚实的道路，让猜想落地为定理，让直觉升华为真理。

一百多年的时光，没有冲淡这个猜想的光芒，反而让它在一代代数学家的思考中愈发清晰。费马与欧拉，一个负责提问，一个负责回答；一个留下灵感，一个完成论证。他们共同完成了数学史上最优雅、最温暖的一次合作。

在今天这个计算机飞速发展的时代，我们可以在一秒钟之内验证成千上万的质数，轻松找到它们的平方和表示。但我们依然会为百年前的故事感动。没有机器辅助，没有资料检索，只靠一支笔、一张纸、一个理性的大脑，人类便可以穿透数字的表象，触摸宇宙永恒的规律。

费马平方和定理告诉我们：数学的美，从来不在复杂的公式里，而在简洁的规律、严谨的逻辑，以及一代代人永不放弃的探索精神之中。

质数依旧沉默地排列在数轴上，而人类对它们的追问，永远不会停止。从费马的空白批注，到欧拉的完整证明，再到今天无数数学爱好者的学习与思考，这场关于平方与质数的对话，还将一直延续下去。

因为数学最珍贵的，从来不是某一个定理，而是藏在定理背后的：至真、至美与不朽。

梧桐阅览