\( \int _0^1 \sqrt{ x^2+x+ \sqrt{ x^2+x+ \sqrt{...} } }dx \)

dodonaomikiki

MIT麻理积分挑战赛题目
积分符号显得太小，拉伸一下！

\(   \displaystyle{\int _0^1}  \sqrt{ x^2+x+ \sqrt{  x^2+x+ \sqrt{...}  }  }dx \)

Future_maths

\(t=\sqrt{x^2+x+\sqrt{x^2+x+\sqrt{...}}}\Rightarrow t=\sqrt{x^2+x+t}\Rightarrow t=x+1.\) 代入原积分=3/2

dodonaomikiki

   \(...t=\sqrt{ x^2+x+t} \)  
之后怎么得出t感觉倍为艰难！

dodonaomikiki

除非就是说，假设t=x+a
然后得出a=1
不过感觉这样做，过于“狡猾”啦

dodonaomikiki

除非就是说，假设t=x+a
然后得出a=1
不过感觉这样做，过于“狡猾”啦

dodonaomikiki

承接FUTURE老师的指点迷津
把过程写完如下：

\(


t=\sqrt{ x^2+x+t}     \\
\Longrightarrow    t_1=\frac{   1+2x+1}{2}=\frac{   2x+2}{2}=x+1 【这个可以】    \\
\Longrightarrow    t_2=\frac{   1-(2x+1)}{2}=\frac{  - 2x}{2}=-x  【因为艾克思是正值，这个不可以】    \\
积分结果：    \\
=\int （x+1）    \\
=\frac{x^2}{2}+x  \lvert_{0}^{1}    \\
=1/2+1    \\
=\frac{3}{2}    \\

...\)