已知 4x^2+5y^2=1 ，求 3x^2+2xy+y^2 的取值范围

dodonaomikiki

\(   已经晓得4x^2+5y^2=1，请确定（3x^2+2xy+y^2）的取值范围 \)



用朗格朗日应该是可以水到渠成，
但用几何法是否可行呢？

dodonaomikiki

用纯粹几何法好像搞不出来！
用三角函数法，
反而势如破竹，就是我算出来答案怪怪的：
\(最大值=\frac{ \sqrt{201}+19}{40}   \)
\(最小值=\frac{ -\sqrt{201}+19}{40}  \)

lianchunhe

取什范围如下

luyuanhong

楼上 lianchunhe 的解答很好！已收藏。

波斯猫猫

已知 4x^2+5y^2=1 ，求 3x^2+2xy+y^2 的取值范围.

思路：判别式法，

令3x^2+2xy+y^2=t，则3x^2+2xy+y^2=t(4x^2+5y^2)，

即(4t-3)x^2-2yx+(5t-1)y^2=0.

∴ 4y^2-4(4t-3)(5t-1)y^2≥0，即20t^2-19t+2≤0.

解得(19-√201)/40≤t≤(19+√201)/40.

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答已收藏。（20t-9t+2≤0 中漏写了平方）

dodonaomikiki

对波斯猫猫老师的解答作一下LATEX



\(已知 4x^2+5y^2=1 ，求 3x^2+2xy+y^2 的取值范围               \\

思路：判别式法，               \\

令3x^2+2xy+y^2=t               \\
\Longrightarrow     3x^2+2xy+y^2=t(4x^2+5y^2)，               \\

即(4t-3)x^2-2yx+(5t-1)y^2=0.               \\

∴ 4y^2-4(4t-3)(5t-1)y^2  \succeq    0              \\
\Longrightarrow    1-  (20t^2  -4t-15t+3  )     \succeq    0              \\
\Longrightarrow    1-20t^2  +4t  +15t-3      \succeq    0              \\
\Longrightarrow    -20t^2    +19t-2        \succeq    0              \\

即20t^2-19t+2     \preceq       0.               \\

解得:   {19-\sqrt {201  }    \over   40 }   \preceq     t     \preceq      {    19+\sqrt {201}      \over        40           }       \\



...\)