也求\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{\sqrt[n]{n!}}{n}\)

春风晚霞

【题：】求\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{\sqrt[n]{n!}}{n}\)
【解:】设\(a_n=\tfrac{\sqrt[n]{n!}}{n}\)，则\(a_n=\tfrac{\sqrt[n]{n!}}{n}=\sqrt[n]{\tfrac{n!}{n^n}}\)\(=\sqrt[n]{\tfrac{1}{n}\cdot\tfrac{2}{n}\cdot …\cdot\tfrac{n}{n}}\)，所以\(log a_n=log\sqrt[n]{\tfrac{1}{n}\cdot\tfrac{2}{n}\cdot …\cdot\tfrac{n}{n}}\)\(=\tfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=1}^n log\tfrac{k}{n}\)
由于\(\displaystyle\lim_{n \to\infty}\tfrac{1}{n}=0,\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{n}{n}=1\)，所以根据黎曼积分定义有\(log a_n =\displaystyle\int_{0}^1 log x dx\)\(=[xlog x-x]_0^1=-1\)，\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=\)\(exp(\displaystyle\lim_{n \to \infty} log a_n）\)\(=e^{-1}\)

春风晚霞

elim畜生对该解法的批评是【春霞是反Weierstrass极限理论的. 连极限定义导致的直接结果lim n 非自然数都否认. 它否定不了本贴就扯解法不完整, 看看它的’完整解法’就知它就是个畜生：为什么那是黎曼和？为什么黎曼和的极限是黎曼和瑕积分？这些事情为什么不交待？】现回答于次，①、春风晚霞并不反对Weierstrass极限理论，反Weierstrass极限理论的是elim！众网友可参见春氏与e氏对Weierstrass极限定义的解读；②、lim n非自然数这是elim反现行数学的罪证春风晚霞多次（从正面、反面、侧面）证明了若\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)则\(\mathbb{N}=\phi\)；③、为什么题解中的和是黎曼和？为什么黎曼的极限是黎曼极分？elim可参阅任何一本《数学分析》教科书关于黎曼积分（即定积分的定义）。春风晚霞是在“科普”该题解法，不是在写教科书，〖根根黎曼积分定义〗一语己经完全回答了elim之疑，故不再回答！elim对范、曹、谢、侯等网友罗织的罪名，恰好暴露elim畜生不如！

春风晚霞

        elim最近发帖称【我的所有帖子都是基于现行数学的框架, 旨在科普数学基础理论而不是显摆自己, 打击私敌的.我决定将焦点主贴设为它的回复仅作者可见模式, 迫使春霞的反数学观点仅见其主题, 驴滚的效果限为置顶本人主题。】elim简直一派胡言。事实上你的一切帖子都是为了【显摆自己，打击私敌】！你【科普数学基础理论】的目的，完全是为你【无穷交就是一种骤】、【自然数集中汶有无穷数】招魂。【焦点主贴设为它的回复仅作者可见模式】是理屈词穷无言以对的怯场表现。骂人，讥讽是耍流氓的无赖行为。你的【所有帖子都是基于现行数学的框架】的屁话简直欺论坛的所有数学人不懂数学。春风晚霞驳你的论据哪一条又不是【基于现行数学的框架】，有的甚至是对现行数学定义定理的直接引用！下边仅就正确理威尔斯特拉斯极限定义，我再度以宿帖回复你的谎言。
        elim，〖\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n=a\)\(\iff\)\(\forall ε>0，\exists\)正整数N，当n>N时，有\(|x_n-a|<ε\)〗.这可是威尔斯特拉斯的极限定义嘛！你他妈的还要威氏如何论证？根据威尔斯特拉斯定义，对特殊情形\(x_n=\tfrac{1}{n}\)和常数0，结论当然成立。除了你以外，还有谁会怀疑存在\(N_ε=[ε^{-1}]+1\)，当\(n>N_ε\)时，恒有\(\cfrac{1}{n}=0\)？又有谁会怀疑\(\color{red}{正整数}\)\(N_ε=[ε^{-1}]+1\)是自然数？又有谁会质疑\(N_ε+1\)，\(N_ε+2\)，……这样的自然数有无穷多个？你他妈的在【\(0.\dot 9=1\)详证】主帖中说【见数学就反, 逢数学人就死磕的春霞反不了\(0.\dot 9=1\)】简直是放你娘的臭狗屁！老子来论坛的第一个帖子就是用有理数的稠密性证明\(0.\dot 9=1\)你他妈的眼瞎心盲了？又有谁看不懂你主帖中的引理纯属扯谈！谁他妈的不知道\(0≤\cfrac{9}{10^n}<1\)你他妈的【\(0.\dot 9=1\)详证】中【引理】的引入和证明都是多余，根本就不能说明\(0.\dot 9\)只是极限是1，本身并不等于1。你他妈的成天骂这个自创系统反数学，骂那个是混混，是白痴，你又是什么东西？！我还是那么说，学数学必须死抠定义，把自己的认知落实到定义的每个单词和短语。当自己的认知和成熟的数学理论相悖时，应仔细反省自己认识上的荒谬之处，而不是首先怀疑或改写成熟的数学系统。你黄牛黑卵子，另外一条筋，倒底谁是混混，谁在反数学？！！你他妈的连威尔斯特拉斯极限定义都读不懂，还好意思在网上装大尾巴狼！！