\(a>b>c， a+b+c=1， a^2+b^2+c^2=1\)，证明 \(\frac{4}{3}>a+b>0\)

天山草

\(a>b>c， a+b+c=1，  a^2+b^2+c^2=1\)，证明 \(\frac{4}{3}>a+b>0\)

波斯猫猫

已知a>b>c，a+b+c=1，a^2+b^2+c^2=1，
证明：0＜a+b＜4/3.

思路：令a+b=t，则c=1-t.消去c得

a^2+b^2+(1-t)^2=1，t^2-2ab+(1-t)^2=1，

即t^2-2a(t-a)+(1-t)^2=1，a^2-ta+t(t-1)=0.

∴ t^2-4t(t-1)≥0，即0≤t≤4/3.

若a+b=t=0，则c=1且a^2+b^2=0

或c=1且a=b=0，这与a>b>c矛盾.

若a+b=t=4/3，则c=-1/3且a=b=2/3，

这与a>b矛盾.  故0＜t＜4/3.