若 x+y=a+b ，且 x^2+y^2=a^2+b^2 ，求证： x^1997+y^1997=a^1997+b^1997

luyuanhong

若 x+y=a+b ，且 x^2+y^2=a^2+b^2 ，求证： x^1997+y^1997=a^1997+b^1997

原创  八两鱼  2026 年 1 月 15 日 22:48  重庆

证明题感觉比较没有思路，来一些。




八两鱼

Future_maths

显然方程是一个二次方程，它只有两个解。又显然，\(x=a{,}\ y=b\)或者\(x=b{,}\ y=a\)是方程的根。这样就解出了\(x\)与\(y\)

波斯猫猫

由 x+y=a+b ，且 x^2+y^2=a^2+b^2 ，
有x-a+y-b=0，且 x^2-a^2+y^2-b^2 =0，
∴  (x+a)(x-a)-(y+b)(x-a)=0，
即(x-a)(x-y+a-b)=0.
解得x=a，y=b，或x=b，y=a.
∴ x^1997+y^1997=a^1997+b^1997.