\({\huge^\star\color{navy}{\textbf{ 漫谈数, 极限和无穷}}\,\Large\color{red}2}\)

elim

在漫谈数, 极限和无穷1中我们主要引进了极限和有序数域
的一些基本概念. 几乎没有涉及无穷的概念. 我们指出\(\small\sqrt{2}\)
是一串有理数的极限, 但并没有回答\(\small\sqrt{2}\) 是多少的问题.
这个问题在 实数的 \(p\)-进制无尽小数值一贴中给出了解答.
那个帖子处理的问题比较抽象. 所以较难读. 目前只要了解,
相对于对给定进制,任何实数都有精确的值就可以了.  下面
我们继续漫谈数, 极限与无穷.
初遇无穷
人类最朴素的有关无穷的认知是没完没了.  在数学中首先
遇到的就是这样的无穷: 自然数有无穷多, \(\small\sqrt{2}\)的渐近分数
构成无穷序列.  即\(\small\mathbb{N},\sqrt{2}\) 的渐近分数全体皆无穷集．另外,
\({\large\frac{1}{n}},n\) 分别是无穷小和无穷大量, 前者无限接近\(0\), 后者变
大没有限制. 这些都是极限理论进一步展开将涉及的不同
的无穷相关概念. 由闭包\(\overline{\mathbb{R}}\)引入的无穷大\(\small\pm\infty\)是作为\(\mathbb{R}\)的
上下确界被首次正式引入(定义)的:\(\small\mathbb{R}=(\inf\mathbb{R},\sup\mathbb{R})=\)
\(\small(-\infty,\infty)\). 详见【北大教材\(\small\lim n=\sup\mathbb{N}=\infty\)】顺便指
出, 用\(N_\varepsilon\)'定义的'\(\small\infty\)纯属老痴驴扯. 我们将再回到无穷问题.
注意在一切场合, 依赖无穷操作的'定义定理'都是反数学的.
子序列
若\(\small\{m_k\}\)是正整数的严格增序列,\(b_k=a_{m_k}\), 则称\(\small\{b_k\}\)为
\(\{a_n\}\)的子序列. 例如 \(1,4,9,16,\ldots\) 是\(\{n\}\)的子序列．
一些重要极限定理
【子列收敛定理】若\(\small\{b_k\}\)是\(\small\{a_n\}\)的子序列且\(\lim a_n=a\),
\(\quad\)则\(\lim b_n=a\).
【证】据子列的定义, 有正整数的严格增序列使\(b_k=a_{m_k}\)
\(\quad\small(\forall k\in\mathbb{N}^+).\) 因\(\small\lim a_n=a\), 对\(\small\varepsilon>0\) 有\(\small N_\varepsilon\) 使 \(\small|a_n-a|\)
\(\quad\small < \varepsilon\,\small(\forall n>N_\varepsilon)\), 易见 \(\small m_k\ge k\,(\forall k\in\mathbb{N}^+)\), 故 \(\small |b_n-a|\)
\(\quad\small=|a_{m_n}-a|< \varepsilon\,\small(\forall n>N_\varepsilon)\). 因\(\small\varepsilon>0\)任意,\(\small\lim b_n=a\;_\blacksquare\)
【例】\(\lim\sqrt[n!]{n!}=\lim\sqrt[n]{n}=1\)
【单调有界定理】若 \(\{a_n\}\) 单调且有界, 则 \(\lim a_n\) 存在.\(\\\)
【证】设 \(\small\exists M: a_k\le a_{k+1}\scriptsize\le M<\infty\,(\forall k),\) 则 \(\small a = \sup\scriptsize\{a_n\}\)
\(\quad\)存在. 且对任意 \(\small\varepsilon>0,\;a-\varepsilon\)不是\(\{a_n\}\)的上界, 故有\(\small N_\varepsilon\)
\(\quad\)使 \(a-\varepsilon< a_{\small N_\varepsilon}\le a\). 因 \(\small\{a_n\}\)单调增, 以\(a\)为上确界,
\(\quad\)我们有 \(\small a-\varepsilon< a_n\le a< a+\varepsilon\,(\forall n\ge N_{\varepsilon})\) 综上得到
\(\quad\small\forall\varepsilon>0\,\exists N_{\varepsilon}\,\forall n\ge N_{\varepsilon} \;(|a_n -a|<\varepsilon)\;\therefore\;\lim a_n=a\)
\(\quad\)若\(\small\{a_n\}\)单调减且有界, \(\small b_n=-a_n\,\small(\forall n)\), 则\(\small\{b_n\}\)单调增
\(\quad\)且有界. 故存在某实数\(b\) 使 \(\small\lim b_n=b\). 令 \(\small a=-b\) 则
\(\quad\,\small\lim a_n = \lim (-b_n) = -\lim b_n = -b = a\) 亦存在. \(_\blacksquare\)

春风晚霞

        elim最近发帖称【我的所有帖子都是基于现行数学的框架, 旨在科普数学基础理论而不是显摆自己, 打击私敌的.我决定将焦点主贴设为它的回复仅作者可见模式, 迫使春霞的反数学观点仅见其主题, 驴滚的效果限为置顶本人主题。】elim简直一派胡言。事实上你的一切帖子都是为了【显摆自己，打击私敌】！你【科普数学基础理论】的目的，完全是为你【无穷交就是一种骤】、【自然数集中汶有无穷数】招魂。【焦点主贴设为它的回复仅作者可见模式】是理屈词穷无言以对的怯场表现。骂人，讥讽是耍流氓的无赖行为。你的【所有帖子都是基于现行数学的框架】的屁话简直欺论坛的所有数学人不懂数学。春风晚霞驳你的论据哪一条又不是【基于现行数学的框架】，有的甚至是对现行数学定义定理的直接引用！下边仅就正确理威尔斯特拉斯极限定义，我再度以宿帖回复你的谎言。
        elim，〖\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n=a\)\(\iff\)\(\forall ε>0，\exists\)正整数N，当n>N时，有\(|x_n-a|<ε\)〗.这可是威尔斯特拉斯的极限定义嘛！你他妈的还要威氏如何论证？根据威尔斯特拉斯定义，对特殊情形\(x_n=\tfrac{1}{n}\)和常数0，结论当然成立。除了你以外，还有谁会怀疑存在\(N_ε=[ε^{-1}]+1\)，当\(n>N_ε\)时，恒有\(\cfrac{1}{n}=0\)？又有谁会怀疑\(\color{red}{正整数}\)\(N_ε=[ε^{-1}]+1\)是自然数？又有谁会质疑\(N_ε+1\)，\(N_ε+2\)，……这样的自然数有无穷多个？你他妈的在【\(0.\dot 9=1\)详证】主帖中说【见数学就反, 逢数学人就死磕的春霞反不了\(0.\dot 9=1\)】简直是放你娘的臭狗屁！老子来论坛的第一个帖子就是用有理数的稠密性证明\(0.\dot 9=1\)你他妈的眼瞎心盲了？又有谁看不懂你主帖中的引理纯属扯谈！谁他妈的不知道\(0≤\cfrac{9}{10^n}<1\)你他妈的【\(0.\dot 9=1\)详证】中【引理】的引入和证明都是多余，根本就不能说明\(0.\dot 9\)只是极限是1，本身并不等于1。你他妈的成天骂这个自创系统反数学，骂那个是混混，是白痴，你又是什么东西？！我还是那么说，学数学必须死抠定义，把自己的认知落实到定义的每个单词和短语。当自己的认知和成熟的数学理论相悖时，应仔细反省自己认识上的荒谬之处，而不是首先怀疑或改写成熟的数学系统。你黄牛黑卵子，另外一条筋，倒底谁是混混，谁在反数学？！！你他妈的连威尔斯特拉斯极限定义都读不懂，还好意思在网上装大尾巴狼！！

春风晚霞

elim连数学教科书都读不懂，你还有什么脸在论坛指点江山？

春风晚霞

elin从来不敢也不能用现行教科书知识论述本主题。

春风晚霞

elin从来不敢也不能用现行教科书知识论述本主题。

春风晚霞

对elim各主题下的“此帖仅作者可见”，一律视为elim理屈词穷不再回复。对elim公开发表的帖子，春风晚霞仍坚守“说理我陪，骂架我也陪”的底线。春风晚霞强烈要求论坛管理员删除这类“仅作者可见”的帖子，彻底解决这种占着茅坑不拉屎的霸屏现象。从而为广大学者提供广阔的交流空间！

elim

狗改不了吃屎, 春霞/APB改不了吃狗屎啼猿声打驴滚

李利浩

对于数学，我是个门外人，看不懂你的那些数学符号，但是，关于无穷，我说一点我自己的看法。
无穷只是一个存在延续的可能，至于"无穷减去有限还是无穷"的这一性质我认为现实中是不存在的。

李利浩

至于"无穷是一种骤变"，但是，我认为，质变有一个量变的过程，隐藏在事物背后的客观规律是可以认识的。

elim

李利浩 发表于 2026-6-22 20:36
关于现行数学为什么会存在0.999……？
我认为，是现行数学的局限，无法将分数用无限小数精准的表示出来 ...

无尽小数的存在与否问题后于何谓无尽小数的问题. 后者即无尽小数的定义问题. 如果对数加以命名可以解决所有涉及数的问题，那么无尽小数的概念就是没有必要的. 但是人们不会满足对数量予以命名这种事情的. 人们要问类似\(\pi\)到底等于几这种问题. 到底等于几的问题其实是问, 一个量是如何用各种数量级单位组装出来的. 例如 \(\sqrt{2}=1.4142\ldots=1\times 10^0+4\times 10^{-1}+1\times 10^{-2}+\cdots\) 即根号2是由一个0级数量单位，四个-1级数量单位，一个-2级数量单位，四个-3级数量单位，两个-4级数量单位...组装而成的. 可以证明这种组装一般要用到无穷多个不同的数量级单位. 所以无尽小数的出现是必然的. 由于人无法执行和检验无穷超作，所以对无穷级数\(\small\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{10^n}\)就需要一个非构造性(非实际操作性的描述, 或者是检验性)的定义：\(\small\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{10^n}=\lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^k\frac{a_n}{10^n}=\sup\bigg\{\sum_{n=1}^k\frac{a_n}{10^n}\mid k\in\mathbb{N}\bigg\}\). 所以无尽小数说白了是相应的有限小数所成的序列的极限亦即相应的有限小数集合的上确界(这个集合的最低天花板). 所以无尽小数的存在性等价于有理数的有界单调增序列是否有极限，或者有上界的有理数集合是否有上确界的问题. 我们知道 \(\small \{1,1.4,1.41,1.4142,\ldots\}\)的上确界\(\sqrt{2}\)不是有理数, 相应的序列在有理数域上不收敛. 所以要保证一般的无尽小数的存在性, 与我们的讨论相配合的数域就必须含有\(\mathbb{Q}\)，满足有序域的所有公理, 并且具有最小上界性(其有上界的子集的上确界仍是数域的成员). 我们把这样的数域叫作实数域。这种数域定义了何谓微积分意义上的数. 实数域是什么我们知道了, 但实数域是否存在仍然需要证明。这个证明是用集合论中的存在性公理以及集合的构造性存在公理搭建一个具体的数域, 它满足实数域的全部公理. 再证明实数域本质上是唯一的(不同的构造结果在结构上是一致的), 更确切地说，任意两个实数域模型是同构的. 这些构造和证明都比较繁琐. 这里就不多说了.
总之, 无尽小数是一种特殊的级数的简写. 其存在性不是定义出来的, 而是由实数理论保证的. 我们也论证了无尽小数作为实数值的一般表示的必然(必要)性(所以它不是现行数学的不足). 最后我们要指出, 非零有限小数皆可表为无尽小数. 最简单的例子就是 \(1=0.\dot 9\).