素数定理

小草

素数定理


证:
我们建立一个自然数模块。
当t=1时
模块A1[1]1;B1[2]1.(右边的数字表示它们的模值)。
当t=2时
模块A2[3,4]2;B2[5,6]2.
当t=3时
模块A3[7,8,9]3;B3[10,11,12]3.
.
.
.
当t=k时
模块Ak[不大于k^2的k个自然数]k;Bk[不大于k(k+1)的k个自然数)]k.

这时我们得到
t^2=(2∑(1,t)t)-t                   (一)

我们从不大于t^2的自然数中，得到了（2t)-1个模块。
模块无限增加，自然数就无限增加。

同时我们利用埃拉托斯特尼筛法得到埃拉托斯特尼筛法模块
A1[1]1
B1[2]1
p1[3,5]2
g1[4,6]2
p2[7,11,13]3
g2[9,15,21]3
g1[8,10,12,14]4
g1[16,18,20,22]4
p3[17,19,23,29,31]5
g3[25,35,55,65,85]5
.
.
.
pk[pk个素数]pk

此时埃拉托斯特尼筛法模块中可分为三种模块
1，A1[1],B1[2]
2，素数模块
3，合数模块

素数模块和B1[2]包括了所有素数。我们得到

素数模块
B1[2]1
p1[3,5]2
p2[7,11,13]3
p3[17,19,23,29,31]5
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pk[pk个素数]

因为在自然数模块中不大于t^2的自然数=(2∑(1,t)t)-t.这时候我们得到
π((pk)^2)≈1+∑(1,k)pk.                 (二)
就是所有素数相加再加上1.

我们先建立一个素数模块B1[2]1，我们从模块B1[2]1中得到素数2，我们又可以建立一个模块p1[3,5]2;我们从模块p1[3,5]2中，又可以建立p2[7,11,13]3，p3[17,19,23,29,31]5的2个模块，它们无限循环下去，得到了无限素数并证明了(二)式。
证毕。