求 (x+3xy)／(x^2+3y^2+4) 的最大值

波斯猫猫

求(x+3xy)/(x^2+3y^2+4)的最大值.

思路：判别式法能搞定此典型类题目.

令(x+3xy)/(x^2+3y^2+4)=t，

则3ty^2-3xy+t(x^2+4)-x=0.

∴ 9x^2-12t[t(x^2+4)-x]≥0，

即(4t^2-3)x^2-4tx+16t^2≤0.

若4t^2-3=0，则t=√3/2.

若4t^2-3＜0，则有16t^2-64t^2(4t^2-3)＞0，

此时，-√3/2＜t＜√3/2.

若4t^2-3＞0，则16t^2-64t^2(4t^2-3)≥0，

即12＜16t^2≤13，

解得[-√13/4，-√3/2）∪（√3/2，√13/4].

即tmax=√13/4.

luyuanhong

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波斯猫猫

求证∣(sinα)^3+(cosα)^3∣≤1(原创).
独立发帖，发了两天，发不出来，显示内部错误。

liangchuxu

求证：(Cosx)^3+(Sinx)^3<=1，不知能看到？

波斯猫猫

前一两年就有感觉，网站可能
因资金问题无法正常运行了。

luyuanhong

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波斯猫猫

求证∣(sinα)^3+(cosα)^3∣≤1.
思路：显然，(1+sinα)(sinα)^2≥0，
(1+cosα)(cosα)^2≥0，
∴ (1+sinα)(sinα)^2+(1+cosα)(cosα)^2≥0，
即 (sinα)^3+(cosα)^3≥-1.
显然，sinα≤1，cosα≤1，
∴ (sinα)^3≤(sinα)^2，(cosα)^3≤(cosα)^2，
即 (sinα)^3+(cosα)^3≤1.
故 ∣(sinα)^3+(cosα)^3∣≤1.
显然，当且仅当α=kπ,或α=kπ+π/2，k∈Z时
等号成立.

luyuanhong

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xfhaoym

学习了，谢谢各位。

波斯猫猫

求证∣(sinα)^n+(cosα)^n∣≤1(n∈Z，n≥2. 原创).