素数差 (首项差d) 等比m的 k生素数

蔡家雄

素数差 (首项差d) 等比m的 k生素数是存在的，

公式：\(p+d*(m^{k -1} -1)/(m -1)\)


素数差（首项差2*30） 等比4 的 16生素数，

1------p = 23025749

若 k=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16 时，

则 23025749 + 60*(4^(k -1) -1)/(4 -1) 均为素数。

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素数差 首项差d 是否为 2*3*5*7 更好，还是为 2^w*3*5*7 更好 ？

当等比 m=1 时，是人们熟知的素数等差数列，

当等比 m>1 时，邻距为 dm^0, dm^1, dm^2, dm^3, ......

问题：素数差 (首项差d) 等比m的 k生素数，究竟可以有多长 ？

蔡家雄

素数差为等比2的8生素数：

p, p+6*1, p+6*3, p+6*7, p+6*15, p+6*31, p+6*63, p+6*127,

1------p = 11

2------p = 3761

3------p = 361961

4------p = 1231691

5------p = 4874561

6------p = 4963481

7------p = 5561441

8------p = 6809611

9------p = 10179791

10------p = 14019451

11------p = 15257311

12------p = 16758121

13------p = 29467661

14------p = 38681411

15------p = 46477811

16------p = 49517071

17------p = 52683971

18------p = 54979931

19------p = 60033691

20------p = 69791321

21------p = 72124561

22------p = 79964891

23------p = 112573361

24------p = 129403181

25------p = 149024761

26------p = 168351941

27------p = 177300881

28------p = 182159581

29------p = 186551731

30------p = 191204071

31------p = 203438311

32------p = 211988611

33------p = 223321321

34------p = 223630721

35------p = 228341761

36------p = 243621601

37------p = 250231361

38------p = 279476251

39------p = 304278721

40------p = 311396161

41------p = 332047081

42------p = 367996661

43------p = 392428651

44------p = 452330071

45------p = 465739181

46------p = 472225991

47------p = 499657351

48------p = 521941331

49------p = 530338841

50------p = 548947501

51------p = 552722081

52------p = 608406061

53------p = 631455281

54------p = 642188381

55------p = 697511891

56------p = 711640661

57------p = 738109441

58------p = 789391111

59------p = 793842151

60------p = 825734531

61------p = 834861701

62------p = 874538851

63------p = 886804441

64------p = 900471791

65------p = 925363471

66------p = 930014231

67------p = 985960421

蔡家雄

素数差为等比3的8生素数是存在的，

p, p+6*1, p+6*4, p+6*13, p+6*40, p+6*121, p+6*364, p+6*1093,

1------p = 1543

2------p = 9103

3------p = 31643

4------p = 2110853

5------p = 8098933

6------p = 9742393

7------p = 13390583

8------p = 48809603

9------p = 53560433

10------p = 92371093

11------p = 101109053

12------p = 105744943

13------p = 117757223

14------p = 121637743

15------p = 138445513

16------p = 144649963

17------p = 161784983

18------p = 170415703

19------p = 174952333

20------p = 178264313

21------p = 183810553

22------p = 195245053

23------p = 200065883

24------p = 202367413

25------p = 245406913

26------p = 259388993

27------p = 269864983

28------p = 275901083

29------p = 276595133

30------p = 382095913

31------p = 390340583

32------p = 399291413

33------p = 410075053

34------p = 422332123

35------p = 423995183

36------p = 501574013

37------p = 518650513

38------p = 524097283

39------p = 544036853

40------p = 575187553

41------p = 589322023

42------p = 592610483

43------p = 596238163

44------p = 599821043

45------p = 624678533

46------p = 650661413

47------p = 672285533

48------p = 672574283

49------p = 676456553

50------p = 729148493

51------p = 745008743

52------p = 770894603

53------p = 781381373

54------p = 809115233

55------p = 824695763

56------p = 835468063

57------p = 856179523

58------p = 858686503

59------p = 863126743

60------p = 872520463

61------p = 919758143

62------p = 940356973

63------p = 947851033

64------p = 963870043

65------p = 967122523

66------p = 987584573

蔡家雄

素数差为等比10的8生素数是存在的，

p, p+6*1, p+6*11, p+6*111, p+6*1111, p+6*11111, p+6*111111, p+6*1111111,

当 p<=10^9 时，就有223组解。

蔡家雄

素数差为等比4的8生素数是存在的，

p, p+6*1, p+6*5, p+6*21, p+6*85, p+6*341, p+6*1365, p+6*5461,

当 p<=10^9 时，就有871组解。

蔡家雄

素数差为等比3的8生素数是存在的，(p, p+6*1,......), 当 p<=10^9 时，有66组解。

素数差为等比4的8生素数是存在的，(p, p+6*1,......), 当 p<=10^9 时，有871组解。

素数差为等比5的8生素数是存在的，(p, p+6*1,......), 当 p<=10^9 时，有219组解。

素数差为等比7的8生素数是存在的，(p, p+6*1,......), 当 p<=10^9 时，有120组解。

素数差为等比9的8生素数是存在的，(p, p+6*1,......), 当 p<=10^9 时，有922组解。

素数差为等比10的8生素数是存在的，(p, p+6*1,......), 当 p<=10^9 时，有223组解。

素数差为等比12的8生素数是存在的，(p, p+6*1,......), 当 p<=10^9 时，有46组解。

蔡家雄

素数差(首项差2)等比2，3，5，9，12，14 的8生素数是存在的，

素数差(首项差4)等比2，3，5，9，12，14 的8生素数是存在的，

素数差(首项差6)等比2，3，4，5，7，9，10 的8生素数是存在的，

素数差(首项差8)等比2，3，5，9，12，14 的8生素数是存在的，

素数差(首项差10)等比2，3，5，6，9，11，12 的8生素数是存在的，

素数差(首项差12)等比2，3，4，5，7，9，10 的8生素数是存在的，

素数差(首项差14)等比2，3，5，8，9，12 的8生素数是存在的，

素数差(首项差16)等比2，3，5，9，12，14 的8生素数是存在的，

素数差(首项差18)等比2，3，4，5，7，9，10 的8生素数是存在的，

猜想：素数差：首项差2，首项差4，首项差8，首项差2^k 的等比是相同的。

猜想：素数差：首项差6，首项差12，首项差18，首项差6k 的等比是相同的。

蔡家雄

素数差(首项差 4p+4 ) 等比5 的8生素数是存在的，

1------p = 15612769

2------p = 32154217

3------p = 35724553

4------p = 40545061

5------p = 93459307

6------p = 126213427

7------p = 158525707

8------p = 220032271

9------p = 225494287

10------p = 350450713

11------p = 468788569

12------p = 585512701

13------p = 589137553

14------p = 664862377

15------p = 667434877

16------p = 756032071

17------p = 776370319

18------p = 805150987

19------p = 851473417

20------p = 863441191

21------p = 868381357

22------p = 882471727

23------p = 907741699

24------p = 919179643

蔡家雄

素数差(首项差 5p+5 ) 等比6 的8生素数是存在的，

1------p = 438241

2------p = 33652609

3------p = 65850331

4------p = 70900079

5------p = 78863749

6------p = 79942783

7------p = 83951869

8------p = 101541571

9------p = 109794101

10------p = 112132723

11------p = 121094047

12------p = 138564383

13------p = 140496487

14------p = 210657521

15------p = 226735913

16------p = 245188919

17------p = 247802279

18------p = 263105987

19------p = 285974081

20------p = 324475799

21------p = 371688593

22------p = 379398997

23------p = 407425367

24------p = 472530211

25------p = 476212283

26------p = 502461541

27------p = 540271423

28------p = 547873327

29------p = 564989129

30------p = 570913619

31------p = 619197829

32------p = 767871347

33------p = 790598513

34------p = 795482489

35------p = 817846481

36------p = 845466623

37------p = 930572189

38------p = 946873289

39------p = 962085367

蔡家雄

素数链：Q(n+1)=2*Q(n) +1，求证：这条素数链一定是9字尾素数。

素数差(首项差p+1) 等比2 的8生素数是存在的。

1------p = 19099919

2------p = 52554569

3------p = 85864769

4------p = 171729539

5------p = 198479579

6------p = 226366139

7------p = 305192579

8------p = 344319029

9------p = 396959159

10------p = 474118349

11------p = 574964129

12------p = 610385159

13------p = 685066979

14------p = 764406059