2026研究生考试19题：运用格林公式计算曲面积分

dodonaomikiki

我认为是一道很好的题目！
非常飒！

dodonaomikiki

下面是一个老师的提示，
非常简洁漂亮！

dodonaomikiki

\(
先考虑A逆时针绕到B，            \\
绕拉椭圆的一半见图            \\
P,Q是哪一坨不言自明，自己体会即可            \\
\frac{dP}{dy}=- 2x           \\
\frac{dQ}{dx}=6- 2x           \\
说是运用啦格林公式，     感觉是逆方向运用啊！            \\
然后两者相减：            \\
\Longrightarrow      \iint 6dxdy             \\
=6       \bullet       (  椭圆面积的一半)                \\
=6     \bullet      \pi      \bullet     1       \bullet     \frac{1}{  \sqrt{3}         }        \bullet      \frac{1}{  2     }            \\
=\sqrt{3}     \pi             \\



\)



\(
错误警示：            \\
  \iint 6dxdy      不要化成     \iint 6d（  cos\theta ）d（  \frac{  sin\theta }{       \sqrt{3}     }   ）   !            \\
我差一点犯啦这个错误！            \\
需要堤防！不要乱来             \\
\)

dodonaomikiki

\(
再计算AB：   x从  \frac{ -1  }{   2  }      抵达     \frac{  1 }{   2  }                        \\
因为这条线上所有的点都是y=x,                  \\
就索性y统统转变成x                  \\
\Longrightarrow   \oint _{AB}     (e^{x^2}  sinx-2x^2+6x-x^2-xcos^4x   ) dx                 \\
考虑到奇函数一搞的话，都要消掉！                  \\
于是我们得到                  \\
=\oint _{-0.5}^{0.5}（  -3x^2 ）dx                  \\
= -x^3\lvert _{-0.5}^{0.5  }                \\
=-0.125-0.125                  \\
=-0.25                  \\
\)





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\(
这样就很容易得到最终结果：         \\
\sqrt{3}\pi-0.25   \)




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\(
错误警示与纠正：               \\
\oint _{AB}   应改成   \int _{AB}               \\
\oint _{-0.5}^{0.5}应改成   \int _{-0.5}^{0.5}                \\  
  基础不好的同学，让我们一同学习！夯实高等数学的基础知识            \\

    \)