哥德巴赫猜想素数对中的倍数含量

yangchuanju · 发表于 2026-4-8 19:46

（一）正整数中的倍数含量
给定一个正整数n，它不一定是素数p的倍数，也不一定是素数q的倍数；
这里的“不一定”表示可能是，也可能不是；只讨论n是不是p和q的倍数时，就有4种情形——
1、n是p和q的共同倍数；
2、n是p的倍数，但不是q的倍数；
3、n不是p的倍数，但是q的倍数；
4、n既不是p的倍数，也不是q的倍数。
无可非议，正整数n中有[n/p]个p的倍数，当n是p的倍数时n/p是整数，当n不是p的倍数时n/p不是整数，取整[n/p]后才是n内p的倍数个数，0≤n/p-[n/p]<1；
同理，正整数n中有[n/q]个q的倍数，当n是q的倍数时n/q是整数，当n不是q的倍数时n/q不是整数，取整[n/q]后才是n内q的倍数个数，0≤n/q-[n/q]<1。
一般来说，用素数p筛除n中p的倍数时，可筛掉[n/p]个p的倍数数，剩余n-[n/p]个非p的倍数数；
再用素数q筛除剩余非p倍数数中的q的倍数时，又可筛掉多少个，剩余多少个？
准确地说应该是又筛掉[n/q]-[n/pq]个，剩余n-[n/p]-[n/q]+[n/pq]个吧！
改用连乘积表达式时，一般写成剩余非p非q倍数数等于n*(p-1)/p*(q-1)/q，连乘积不一定是整数，误差大于等于0且不大于1（0≤误差<1）。

用3个、4个、更多个素数筛除正整数n中的各个素数的倍数数后大约剩余n*∏(p-1)/p个数，误差多大不知，估计不会超过所用素数个数。
例如利用素数3和7对对1--42进行筛分（特意不取连续的最小素数）——
整数n n*2/3 n*2/3*6/7 3筛余 37筛余 3筛误差 37筛误差
1 0.6667 0.5714 1 1 -0.3333 -0.4286
2 1.3333 1.1429 2 2 -0.6667 -0.8571
3 2.0000 1.7143 2 2 0.0000 -0.2857
4 2.6667 2.2857 3 3 -0.3333 -0.7143
5 3.3333 2.8571 4 4 -0.6667 -1.1429
6 4.0000 3.4286 4 4 0.0000 -0.5714
7 4.6667 4.0000 5 4 -0.3333 0.0000
8 5.3333 4.5714 6 5 -0.6667 -0.4286
9 6.0000 5.1429 6 5 0.0000 0.1429
10 6.6667 5.7143 7 6 -0.3333 -0.2857
11 7.3333 6.2857 8 7 -0.6667 -0.7143
12 8.0000 6.8571 8 7 0.0000 -0.1429
13 8.6667 7.4286 9 8 -0.3333 -0.5714
14 9.3333 8.0000 10 8 -0.6667 0.0000
15 10.0000 8.5714 10 8 0.0000 0.5714
16 10.6667 9.1429 11 9 -0.3333 0.1429
17 11.3333 9.7143 12 10 -0.6667 -0.2857
18 12.0000 10.2857 12 10 0.0000 0.2857
19 12.6667 10.8571 13 11 -0.3333 -0.1429
20 13.3333 11.4286 14 12 -0.6667 -0.5714
21 14.0000 12.0000 14 12 0.0000 0.0000
22 14.6667 12.5714 15 13 -0.3333 -0.4286
23 15.3333 13.1429 16 14 -0.6667 -0.8571
24 16.0000 13.7143 16 14 0.0000 -0.2857
25 16.6667 14.2857 17 15 -0.3333 -0.7143
26 17.3333 14.8571 18 16 -0.6667 -1.1429
27 18.0000 15.4286 18 16 0.0000 -0.5714
28 18.6667 16.0000 19 16 -0.3333 0.0000
29 19.3333 16.5714 20 17 -0.6667 -0.4286
30 20.0000 17.1429 20 17 0.0000 0.1429
31 20.6667 17.7143 21 18 -0.3333 -0.2857
32 21.3333 18.2857 22 19 -0.6667 -0.7143
33 22.0000 18.8571 22 19 0.0000 -0.1429
34 22.6667 19.4286 23 20 -0.3333 -0.5714
35 23.3333 20.0000 24 20 -0.6667 0.0000
36 24.0000 20.5714 24 20 0.0000 0.5714
37 24.6667 21.1429 25 21 -0.3333 0.1429
38 25.3333 21.7143 26 22 -0.6667 -0.2857
39 26.0000 22.2857 26 22 0.0000 0.2857
40 26.6667 22.8571 27 23 -0.3333 -0.1429
41 27.3333 23.4286 28 24 -0.6667 -0.5714
42 28.0000 24.0000 28 24 0.0000 0.0000

容易看出，用素数3和7对一系列整数进行单筛，
误差每21个整数一个循环周期，前后没有对称性；
当整数n是3的倍数时，用素数3单筛，误差等于0，否则便是-2/3和-1/3；当整数n是7的倍数时，用素数7单筛类似；
当整数n是7的倍数（不管n是不是3的倍数）时，用素数3和7联筛，误差都等于0，其余整数n则有不同的误差（见上表）——
当n=21k+5时，有最大正误差0.5714=4/7；
当n=21k+15时，有最大负误差-1.1428=-8/7，绝对值大于1。
（若对连乘积取整，取整后的误差变成0，-1或-2）
有人认为用素数p和q对整数n进行联筛，筛余量符合倍数含量重叠规律（即连乘积），有点“小尾巴”（即误差）也不会大于1，显然是不正确的！

yangchuanju · 发表于 2026-4-8 19:48

（二）正整数n内素数个数
当所用筛分素数是从2开始直到n平方根内的最大素数时，在筛余整数中去掉整数1，补上筛分用素数2,3,5，……p就是整数n内的素数表；
n内素数个数等于[n*∏(p-1)/p]-1+π(√n)个或[n*∏(p-1)/p]+π(√n)个，式中[...]表示取整，p是不大于n平方根的最大素数，π(√n)是n平方根内素数个数。
一般粗略地取n内素数个数等于n*∏(p-1)/p，不进行取整和误差调整。

整数n 2 3 5 7 11 连乘积调整后 n内素数个数误差
1 0.5 —— —— —— —— 0.5000 -0.5000 0 -0.5000
2 1.0 —— —— —— —— 1.0000 0.0000 1 -1.0000
3 1.5 —— —— —— —— 1.5000 0.5000 2 -1.5000
4 2.0 —— —— —— —— 2.0000 2.0000 2 0.0000
5 2.5 —— —— —— —— 2.5000 2.5000 3 -0.5000
6 3.0 —— —— —— —— 3.0000 3.0000 3 0.0000
7 3.5 —— —— —— —— 3.5000 3.5000 4 -0.5000
8 4.0 —— —— —— —— 4.0000 4.0000 4 0.0000
9 4.5 3.0000 —— —— —— 3.0000 4.0000 4 0.0000
10 5.0 3.3333 —— —— —— 3.3333 4.3333 4 0.3333
11 5.5 3.6667 —— —— —— 3.6667 4.6667 5 -0.3333
12 6.0 4.0000 —— —— —— 4.0000 5.0000 5 0.0000
13 6.5 4.3333 —— —— —— 4.3333 5.3333 6 -0.6667
14 7.0 4.6667 —— —— —— 4.6667 5.6667 6 -0.3333
15 7.5 5.0000 —— —— —— 5.0000 6.0000 6 0.0000
16 8.0 5.3333 —— —— —— 5.3333 6.3333 6 0.3333
17 8.5 5.6667 —— —— —— 5.6667 6.6667 7 -0.3333
18 9.0 6.0000 —— —— —— 6.0000 7.0000 7 0.0000
19 9.5 6.3333 —— —— —— 6.3333 7.3333 8 -0.6667
20 10.0 6.6667 —— —— —— 6.6667 7.6667 8 -0.3333
21 10.5 7.0000 —— —— —— 7.0000 8.0000 8 0.0000
22 11.0 7.3333 —— —— —— 7.3333 8.3333 8 0.3333
23 11.5 7.6667 —— —— —— 7.6667 8.6667 9 -0.3333
24 12.0 8.0000 —— —— —— 8.0000 9.0000 9 0.0000
25 12.5 8.3333 6.6667 —— —— 6.6667 8.6667 9 -0.3333
31 15.5 10.3333 8.2667 —— —— 8.2667 10.2667 11 -0.7333
40 20.0 13.3333 10.6667 —— —— 10.6667 12.6667 12 0.6667
48 24.0 16.0000 12.8000 —— —— 12.8000 14.8000 15 -0.2000
49 24.5 16.3333 13.0667 11.2000 —— 11.2000 14.2000 15 -0.8000
73 36.5 24.3333 19.4667 16.6857 —— 16.6857 19.6857 21 -1.3143
96 48.0 32.0000 25.6000 21.9429 —— 21.9429 24.9429 24 0.9429
120 60.0 40.0000 32.0000 27.4286 —— 27.4286 30.4286 30 0.4286
121 60.5 40.3333 32.2667 27.6571 25.1429 25.1429 29.1429 30 -0.8571
139 69.5 46.3333 37.0667 31.7714 28.8831 28.8831 32.8831 34 -1.1169
148 74.0 49.3333 39.4667 33.8286 30.7532 30.7532 34.7532 34 0.7532
168 84.0 56.0000 44.8000 38.4000 34.9091 34.9091 38.9091 39 -0.0909

容易看出，在仅用素数2-5对整数1-48进行筛分时，除整数3以外的误差或是0，或是-1；对于整数1,2,3按理说是不该用素数2筛分的。
尚若对连乘积不取整，筛分至n的平方根以内最大素数时，筛分误差在±1之间（整数3除外）。
分段分析
仅用素数2和3对整数4-24进行筛分时，最大正误差是0.3333，最大负误差是-0.6667；
在用素数2、3和5对整数25-48进行筛分时，最大正误差是0.6667，最大负误差是-0.8；
随着整数n的增大和参与筛分的素数的增多最大正负误差都在增大。
但当筛分素数增大到7，被筛分整数增大到49-120时，最大正误差接近于1，最大负误差绝对值已经大于1了——
在用素数2-7对整数49-120进行筛分时，最大正误差是0.9428571，最大负误差是-1.3142857；
相信在筛分素数继续增多，被筛分整数继续增大时，最大正负误差都会不断地波动式地增大。
故在用连乘积计算式计算n内素数个数时（单筛）倍数含量和重叠规律也是不成立的。

yangchuanju · 发表于 2026-4-8 19:50

（三）哥德巴赫猜想分拆素数对数
本人已多次给定，只用素数2和3，对从2开始的一系列连续偶数进行双筛，筛分最大误差是±2/3=0.6667，出现在偶数6k+4和6k+2中(k=0,1,2…)；每3个偶数一个循环周期（循环周期是6）；
用素数2、3和5，对从2开始的一系列连续偶数进行联合双筛，筛分最大误差是±8/5=1.6，出现在偶数30k+16和30k+14中(k=0,1,2…)；每15个偶数一个循环周期（循环周期是30）；
用素数2、3、5和7，对从2开始的一系列连续偶数进行联合双筛，筛分最大误差是±16/7=2.285714，出现在偶数210k+156和210k+54中(k=0,1,2…)；每105个偶数一个循环周期（循环周期是210）；
用素数2--11，对从2开始的一系列连续偶数进行联合双筛，筛分最大误差是±436/77=5.662338，出现在偶数2310k+1212和2310k+1098中(k=0,1,2…)；每1155个偶数一个循环周期（循环周期是2310）；
用素数2--13，对从2开始的一系列连续偶数进行联合双筛，筛分最大误差是±1206/91=13.252747；每15015个偶数一个循环周期（循环周期是30030）；
用素数2--17，对从2开始的一系列连续偶数进行联合双筛，筛分最大误差大于±18；每255255个偶数一个循环周期（循环周期是17#=510510）；
用素数2--19，对从2开始的一系列连续偶数进行联合双筛，筛分最大正负误差绝对值大于±22；每4849845个偶数一个循环周期（循环周期是19#=9699690）；
更大的联筛素数误差一定更大。

在对于偶数30000--30060（平方根内最大素数都是173）用素数3--173联筛遍筛一遍时，
最大正误差是126.95，出现在偶数30060的97筛中；最大负误差是-19.90，出现在偶数30054的31筛中；
最大正误差一般出现在中部筛分素数中，两端的误差较小，从小素数开始波动式的增大，然后再波动式的减小。
而对于筛分至素数13具有最大负误差的偶数15336，当筛分至素数113时，最小负误差仍是-13.2527，正误差是42.3650；
对于筛分至素数13具有最大正误差的偶数14694，当筛分至素数113时，最小负误差是-1.2，正误差是65.9583；
继续过筛至素数173时，最大正误差没有变化，负误差逐渐减小（绝对值逐渐增大），过筛筛掉的数对刚好可用逐渐变小的负误差递补（减负等于加正）。

另对偶数30030--510510分别筛分至素数173--709的最终误差、最小误差和最大误差见下表，
最终误差和最大误差与偶数平方根内最大素数之比逐渐增大，由一个纯小数增大到1.774和3.359，
尚若继续扩大偶数和素数的大小，最终误差和最大误差与偶数平方根内最大素数之比还将会成指数级增大。
在哥猜的证明中，崔坤等人一直强调“误差阶不可估”，我却认为误差不会很大，现在看来误差的绝对值会变得不可预测，
仅从排除3种误差的角度出发，难以证明哥猜！

偶数素数最终误差最小误差最大误差最大误差素筛
30030 173 -13.63 -13.63 121.73 83
60060 241 28.35 -40.52 253.97 151
90090 293 176.37 -43.78 453.91 157
120120 337 271.31 -55.88 573.46 193
150150 383 364.64 -55.34 763.91 223
180180 421 309.11 -77.52 780.01 257
210210 457 438.56 -119.37 972.16 271
240240 487 562.49 -83.85 1197.48 307
270270 509 667.69 -167.21 1301.10 293
300300 547 634.23 -139.54 1351.36 317
330330 571 812.40 -206.29 1519.38 349
360360 599 741.57 -172.28 1588.60 347
390390 619 919.65 -170.71 1840.41 409
420420 647 919.65 -198.36 1915.39 383
450450 661 828.71 -249.10 1922.07 389
480480 691 975.49 -247.84 2101.34 401
510510 709 1257.85 -262.75 2381.61 421

再将被筛分偶数扩大到600600,750750，误差变为——
偶数最大素数筛筛余计余误差最大误差
150150 383 6368 6732.64 364.64 763.91
300300 547 11438 12072.23 634.23 1351.36
450450 661 16126 16954.71 828.71 1922.07
600600 773 20400 21627.45 1227.45 2625.77
750750 863 24199 26197.79 1998.79 3407.31

偶数筛分至筛余计余误差最大误差标注
150150 383 6368 6732.64 364.64 763.91 恰筛
300300 383 12168 13465.28 1297.28 1351.36 欠筛
450450 383 18278 20197.92 1919.92 1921.94 欠筛
600600 383 24368 26930.56 2562.56 2562.56 欠筛
750750 383 30800 33663.20 2863.20 2863.20 欠筛

150150 863 6302 5239.56 -1062.44 763.91 过筛
300300 863 11400 10479.11 -920.89 1351.36 过筛
450450 863 16098 15718.67 -379.33 1922.07 过筛
600600 863 20394 20958.23 564.23 2625.77 过筛
750750 863 24199 26197.79 1998.79 3407.31 恰筛

yangchuanju · 发表于 2026-4-8 19:52

本帖最后由 yangchuanju 于 2026-4-19 20:16 编辑

（四）正整数n内素数个数连乘积计算式中的0误差问题
求算正整数n内素数个数的连乘积计算式是π(n)=n*∏(p-1)/p=n*1/2*2/3*4/5*6/7*10/11*……
在仅用素数2对整数4-8进行筛分时，整数4,6,8的筛分误差都是0；
在用素数2和3对整数9-24进行联筛时，整数9,12,15,18,21,24的筛分误差都是0，即只要n是3的倍数数时误差都是0；
因为n*1/2*2/3=n/3，只要n是3的倍数，连乘积就是整数，进一步出现0误差。

在用素数2、3和5对整数25-48进行联筛时，整数30和45的筛分误差都是0，它们都是15的倍数数；
因为n*1/2*2/3*4/5=2n/15，只有n是15的倍数数时，连乘积才是整数，进一步可能出现0误差；
事实也是如此，尚若对整数15,60,75,90……也只用素数2-5进行筛分，都会出现0误差（这里对于15是过筛，对于60,75,90……是欠筛）。

在用素数2-7对整数49-120进行联筛时，整数70和105的筛分误差都是0，它们都是35的倍数数；
因为n*1/2*2/3*4/5*6/7=4n/35，只有n是35的倍数数时，连乘积才是整数，进一步可能出现0误差；
尚若对整数35,140,175,210……也只用素数2-7进行筛分，都会出现0误差（这里对于35是过筛，对于140,175,210……是欠筛）。

尚若用素数2-11对一系列正整数n进行联筛，筛余量计算式是n*1/2*2/3*4/5*6/7*10/11=4n/35*10/11=8n/77，8与77互素，只有n是77的倍数数时，连乘积才会是整数；
整数1-2310内共有30个77的倍数数，相信对于整数77,154,231,308，……2310在仅用素数2-11进行联筛时的误差都是0。
尚若用素数2-13对一系列正整数n进行联筛，筛余量计算式是n*1/2*2/3*4/5*6/7*10/11*12/13=8n/77*12/13=96n/1001，96与1001互素，只有n是1001的倍数数时，连乘积才会是整数；
整数1-30030内共有30个1001的倍数数，相信对于整数1001,2002,3003，……30030在仅用素数2-13进行联筛时的误差都是0。
继续用素数2-17对一系列正整数n进行联筛，筛余量计算式是n*1/2*2/3*4/5*6/7*10/11*12/13*16/17=96n/1001*16/17=1536n/17017，1536与17017互素，只有n是17017的倍数数时，连乘积才会是整数；
整数1-510510内共有30个17017的倍数数，相信对于整数17017,34034,51051，……510510在仅用素数2-17进行联筛时的误差都是0。
继续用素数2-19对一系列正整数n进行联筛，筛余量计算式是n*1/2*2/3*4/5*6/7*10/11*12/13*16/17*18/19=1536n/17017*18/19=27648n/323323，27648与323323互素，只有n是323323的倍数数时，连乘积才会是整数；
整数1-9699690内共有30个323323的倍数数，相信对于整数323323,646646,969969，……9699690在仅用素数2-19进行联筛时的误差都是0。

用素数2-23对一系列正整数n进行联筛，筛余量计算式是n*1/2*2/3*4/5*6/7*10/11*12/13*16/17*18/19*22/23，分母中的11被约掉，猜想在一个循环周期23#内有330个0误差偶数；
用素数2-29对一系列正整数n进行联筛，筛余量计算式是n*1/2*2/3*4/5*6/7*10/11*12/13*16/17*18/19*22/23*28/29，分母中的7和11被约掉，猜想在一个循环周期29#内有2310个0误差偶数；
用素数2-31对一系列正整数n进行联筛，筛余量计算式是n*1/2*2/3*4/5*6/7*10/11*12/13*16/17*18/19*22/23*28/29*30/31，分母中的7和11被约掉，猜想在一个循环周期31#内有2310个0误差偶数；
用素数2-37对一系列正整数n进行联筛，筛余量计算式是n*1/2*2/3*4/5*6/7*10/11*12/13*16/17*18/19*22/23*28/29*30/31*36/37，分母中的7,11,19被约掉，猜想在一个循环周期37#内有43890个0误差偶数；
用素数2-41对一系列正整数n进行联筛，筛余量计算式是n*1/2*2/3*4/5*6/7*10/11*12/13*16/17*18/19*22/23*28/29*30/31*36/37*40/41，分母中的7,11,19被约掉，猜想在一个循环周期41#内有43890个0误差偶数；
用素数2-43对一系列正整数n进行联筛，筛余量计算式是n*1/2*2/3*4/5*6/7*10/11*12/13*16/17*18/19*22/23*28/29*30/31*36/37*40/41*42/43，分母中的7,11,19被约掉，猜想在一个循环周期43#内有43890个0误差偶数；
用素数2-47对一系列正整数n进行联筛，筛余量计算式是n*1/2*2/3*4/5*6/7*10/11*12/13*16/17*18/19*22/23*28/29*30/31*36/37*40/41*42/43*46/47，分母中的7,11,19,23被约掉，猜想在一个循环周期47#内有1009470个0误差偶数；
………………
素数 0误差个数连乘积分子连乘积分母个数增比素数阶乘
3 2 1 3 —— 6
5 2 2 15 1 30
7 6 4 35 3 210
11 30 8 77 5 2310
13 30 96 1001 1 30030
17 30 1536 17017 1 510510
19 30 27648 323323 1 9699690
23 330 608256 676039 11 223092870
29 2310 17031168 2800733 7 6469693230
31 2310 510935040 86822723 1 2.0056E+11

以下数据有误，37-1=36，不是19的倍数
37 43890 18393661440 169075829 19 7.42074E+12
41 43890 7.35746E+11 6932108989 1 3.0425E+14
43 43890 3.09014E+13 2.98081E+11 1 1.30828E+16
47 1009470 1.42146E+15 6.09121E+11 23 6.1489E+17

yangchuanju · 发表于 2026-4-8 19:52

（五）正偶数n的哥猜素数对连乘积计算式中的0误差问题
求算偶数n的哥猜素数对的连乘积计算式是G2=n/2*∏(p-2)/p*∏(p-1)/(p-2)=n*1/2*2/3*4/5*6/7*10/11*……*∏(p-1)/(p-2)
第一个连乘积中的p取尽偶数n平方根内所有素数，第二个连乘积中的p仅取能够整除偶数n的n平方根内的素数。
在仅用素数2对所有偶数进行筛分时，筛分误差都是0；
在用素数2和3对偶数2-24进行联筛时，偶数6,12,18,24的筛分误差都是0，此时连乘积n/2*2/3=n/3，因n本身是偶数，故只要n是6的倍数数时误差才是0；
偶数2,4,8,10,14,16,20,22的筛分误差都不是0，此时连乘积n/2*1/3不是整数。
3#=6以内只用素数2和3进行双筛时，只有1个0误差偶数；尽管偶数6为过筛偶数。

在用素数2、3和5对偶数2-48进行联筛时，偶数30的筛分误差是0，此时连乘积n/2*2/3*3/5=n/5，因n本身是偶数，故只要n是30的倍数数时误差才是0；
偶数2,4,6,8;12,14,16,18;22,24,26,28;32,34,36,38;42,44,46,48的筛分误差都不是0，此时连乘积或是n/2*1/3*3/5=n/10，或是n/2*2/3*3/5=n/5不是整数；
偶数10,20,40的筛分误差也不是0，此时连乘积是n/2*1/3*4/5=2n/15不是整数。
5#=30以内只用素数2、3和5进行双筛时，只有1个0误差偶数。

在7#=210以内，用素数2,3,5,7对其中的所有偶数进行联合双筛，（不管是欠筛122-210、过筛2-48、还是恰筛50-120），有3个0误差偶数70,140,210；
连乘积n/2*a/3*4/5*6/7=4a*n/35，式中a=1或2，分母中的3被约掉，n必须是35=5*7的偶倍数——70,140,210。

在11#=2310以内，用素数2-11对其中的所有偶数进行联合双筛，（不管是欠筛170-2310、过筛2-120、还是恰筛122-168），有15个0误差偶数154,308,…,2310；
连乘积n/2*a/3*b/5*6/7*10/11=2ab*n/77，式中a=1或2，b=3或4，分母中的3,5被约掉，n必须是77=7*11的偶倍数——154,308,…,2310。

在13#=30030以内，用素数2-13对其中的所有偶数进行联合双筛，（不管是欠筛290-30030、过筛2-168、还是恰筛170-288），有15个0误差偶数2002,4004,…,30030；
连乘积n/2*a/3*b/5*6/7*10/11*12/13=24ab*n/1001，式中a=1或2，b=3或4，分母中的3,5被约掉，n必须是1001=7*11*13的偶倍数——2002,4004,…,30030。

在17#=510510以内，用素数2-17对其中的所有偶数进行联合双筛，（不管是欠筛、过筛、还是恰筛），有15个0误差偶数340340k，(k=1,2,…,15)；
连乘积n/2*a/3*b/5*6/7*10/11*12/13*16/17=384ab*n/17017，式中a=1或2，b=3或4，分母中的3,5被约掉，n必须是17017=7*11*13*17的偶倍数——34034,68068,…,510510。

在19#=9699690以内，用素数2-19对其中的所有偶数进行联合双筛，（不管是欠筛、过筛、还是恰筛），有15个0误差偶数3233230k，(k=1,2,…,15)；
连乘积n/2*a/3*b/5*6/7*10/11*12/13*16/17*18/19=6912ab*n/17017，式中a=1或2，b=3或4，分母中的3,5被约掉，n必须是17017=7*11*13*17的偶倍数——34034,68068,…,510510。

经对比易知，在用素数2,3,5--p对p#以内的连续偶数进行双筛时的0误差偶数个数刚好是——在用素数2,3,5--p对p#以内的连续整数进行单筛时的0误差偶数个数一半。

yangchuanju · 发表于 2026-4-9 14:46

（六）求素连乘积计算式的最大误差
在对一个大整数n连续用素数2,3,5，……p筛分时，筛余数连乘积可写成
n*1/2*2/3*4/5*6/7*10/11*12/13*16/17*18/19*22/23*28/29*30/31*36/37*40/41*42/43*46/47*…
或简写成n*∏(p-1)/∏p，分式中除了1/2和2/3可以相约外没有其它可约分的数字。
素数p 连乘积分母连乘积分子连乘积
2 2 1 0.5000
3 3 1 0.3333
5 15 4 0.2667
7 105 24 0.2286
11 1155 240 0.2078
13 15015 2880 0.1918
17 255255 46080 0.1805
19 4849845 829440 0.1710
23 111546435 18247680 0.1636
29 3234846615 510935040 0.1579
31 1.0028E+11 15328051200 0.1529
37 3.71037E+12 5.5181E+11 0.1487
41 1.52125E+14 2.20724E+13 0.1451
43 6.54138E+15 9.27041E+14 0.1417
47 3.07445E+17 4.26439E+16 0.1387
若求算n内素数个数，则需在连乘积计算值中——减去不是素数的1（误差1），加上被筛除掉的素数2,3,5,7,……（误差2），再减去连乘积计算式的误差（误差3）；
一般来说筛分至n平方根内最大素数即可，实际上过筛若干个素数也无妨，但不能欠筛（筛不净）；
如对整数120，按理说筛分至素数7即可；若又用了素数11筛了一次，只不过多筛掉一个整数11，导致误差2大了一个数而已；
在求素的连乘积计算式中，误差1总是等于1，误差2总是等于所用筛分素数个数，误差3比较难以确定。

整数n 筛分至连乘积筛余数素数个数误差3
1 1 —— 1 0 0
2 1 —— 2 1 0
3 1 —— 3 2 0
4 2 2.0000 2 2 0.0000
5 2 2.5000 3 3 -0.5000
6 2 3.0000 3 3 0.0000
7 2 3.5000 4 4 -0.5000
8 2 4.0000 4 4 0.0000
9 3 3.0000 3 4 0.0000
24 3 8.0000 8 9 0.0000
25 5 6.6667 7 9 -0.3333
31 5 8.2667 9 11 -0.7333
40 5 10.6667 10 12 0.6667
48 5 12.8000 13 15 -0.2000
49 7 11.2000 12 15 -0.8000
50 7 11.4286 12 15 -0.5714
70 7 16.0000 16 19 0.0000
73 7 16.6857 18 21 -1.3143
96 7 21.9429 21 24 0.9429
105 7 24.0000 24 27 0.0000
120 7 27.4286 27 30 0.4286
121 11 25.1429 26 30 -0.8571
139 11 28.8831 30 34 -1.1169
148 11 30.7532 30 34 0.7532
154 11 32.0000 32 36 0.0000
168 11 34.9091 35 39 -0.0909
169 13 32.4156 34 39 -1.5844
199 13 38.1698 41 46 -2.8302
222 13 42.5814 42 47 0.5814
288 13 55.2408 56 61 -0.7592

经计算得知，当仅用2筛分时最大误差是0，最小误差是-0.5；
当用素数23对整数9--24联筛时最大误差是0.3333，出现在偶数10,16,22中；最小误差是-0.6667，出现在偶数13,19中；而偶数9,12,15,18,21,24的误差都是0；
当用素数235对整数25--48联筛时最大误差是0.6667，出现在偶数40中；最小误差是-0.7333，出现在偶数31中；偶数30的误差等于0；
当用素数2357对整数49--120联筛时最大误差是0.9429，出现在偶数96中；最小误差是-1.3143，出现在偶数73中；偶数70,105的误差等于0；
当用素数2--11对整数121-168联筛时最大误差是07532，出现在偶数148中；最小误差是-1.1169，出现在偶数139中；偶数154的误差等于0；
当用素数2--13对整数169--280联筛时最大误差是0.5814，出现在偶数222中；最小误差是-2.8303，出现在偶数199中；本段数字中没有误差等于0的偶数。
易见随着整数和所用筛分素数的增大，连乘积的计算误差都要波动式的增大，能达到何数值，不易知道。

yangchuanju · 发表于 2026-4-9 14:48

本帖最后由 yangchuanju 于 2026-4-9 17:16 编辑

（七）哥猜素数对双筛连乘积的最大误差
用素数2和3对连续偶数0,2,4,6进行双筛，最大误差0.6667出现在偶数4中，最小误差-0.6667出现在偶数2中；扩大数字范围最大正误差出现在偶数6k+4中，绝对值最大负误差出现在偶数6k+2中，式中k=0,1,2，……；
用素数2、3和5对连续偶数0,2--30进行双筛，最大误差1.6出现在偶数16中，最小误差-1.6出现在偶数14中；扩大数字范围最大正误差出现在偶数30k+16中，绝对值最大负误差出现在偶数30k+14中，式中k=0,1,2，……；
用素数2、3、5联筛的最大正负误差所在偶数也是用素数2、3联筛的最大正负误差所在偶数；16模6余4,14模6余2。

偶数 23筛 23筛余 23筛误差 235筛 235筛余 235筛误差
0 0.00 0 0.00 0.00 0 0.00
2 0.33 1 -0.67 0.20 1 -0.80
4 0.67 0 0.67 0.40 0 0.40
6 2.00 2 0.00 1.20 0 1.20
8 1.33 2 -0.67 0.80 2 -1.20
10 1.67 1 0.67 1.33 0 1.33
12 4.00 4 0.00 2.40 2 0.40
14 2.33 3 -0.67 1.40 3 -1.60
16 2.67 2 0.67 1.60 0 1.60
18 6.00 6 0.00 3.60 4 -0.40
20 3.33 4 -0.67 2.67 4 -1.33
22 3.67 3 0.67 2.20 1 1.20
24 8.00 8 0.00 4.80 6 -1.20
26 4.33 5 -0.67 2.60 3 -0.40
28 4.67 4 0.67 2.80 2 0.80
30 10.00 10 0.00 8.00 8 0.00

对于偶数16，双筛连乘积等于16/2*1/3*3/5=8/5=1.6，减0等于1.6；此时3筛误差2/3，5筛误差4/5，皆最大，连乘积中的分母3被约掉；连乘积分母变成5；
对于偶数14，双筛连乘积等于14/2*1/3*3/5=7/5=1.4，减3等于-1.6；此时3筛误差-2/3，5筛误差-4/5，皆最大，连乘积中的分母3被约掉；连乘积分母变成5。
而对于偶数10和20，双筛连乘积等于10/2*1/3*4/5=4/3或20/2*1/3*4/5=8/3，减筛余数0或4，筛分误差等于±4/3=1.333，连乘积和误差分母都等于3。
连乘积及计算误差的各种可能分母是——
n/2*1/3*3/5→5；n/2*1/3*4/5→15；n/2*2/3*3/5→5；n/2*2/3*4/5→15；
分母中的2均可被偶数n约掉，实则共出现2种分母5和15；当分母为15时，n是5的倍数，故分母变成3；0误差偶数分母未计。

yangchuanju · 发表于 2026-4-9 14:49

本帖最后由 yangchuanju 于 2026-4-20 06:06 编辑

用素数2、3、5、7对连续偶数2--210进行双筛，最大误差16/7=2.285714，出现在偶数156中，最小误差-16/7=-2.285714，出现在偶数54中；扩大数字范围最大正误差出现在偶数210k+156中，绝对值最大负误差出现在偶数210k+54中，式中k=0,1,2，……；
用素数2、3、5、7联筛的最大正负误差所在偶数54和156模6余0，模30余24和6，都不与用23联筛、25联筛、235联筛具有最大正负误差的偶数相重叠。
54和156用素数23联筛误差等于0，最小；用素数25联筛误差等于±0.8，最大；用素数235联筛误差等于±1.2，非最大。
对于偶数156，双筛连乘积等于156/2*2/3*3/5*5/7=8/5=156/7，连乘积中的分母3和5被约掉；连乘积分母变成7；
对于偶数54，双筛连乘积等于54/2*2/3*3/5*5/7=8/5=54/7，连乘积中的分母3和5被约掉；连乘积分母变成7。
连乘积及计算误差的各种可能分母是——
n/2*1/3*3/5*5/7→7；n/2*1/3*3/5*6/7→35；n/2*1/3*4/5*5/7→21；n/2*1/3*4/5*6/7→35；
n/2*2/3*3/5*5/7→7；n/2*2/3*3/5*6/7→35；n/2*2/3*4/5*5/7→21；n/2*2/3*4/5*6/7→35；
分母中的2均可被偶数n约掉，实则共出现3种分母7、21和35，其中分母7居多，0误差偶数分母未计。

用素数2--11对连续偶数2--2310进行双筛，最大误差436/77=5.66234出现在偶数1212中，最小误差-436/77=-5.66234出现在偶数1098中；
1212、1098模210余162和48，模30余12和18；不与2357筛和235筛的最大误差偶数重叠，但都是6的倍数数。
用素数2--11对连续偶数2--2310进行双筛，连乘积计算式是n/2*a/3*b/5*c/7*d/11，式中a=1或2，b=3或4，c=5或6，d=9或10；
连乘积计算式的分母中的3和5有可能被约掉；
已知的具有最大正负误差的偶数是3的倍数，但不是5,7,11的倍数；连乘积变成n/2*2/3*3/5*5/7*9/11=n*9/77，从而误差分母也是77。
连乘积及计算误差的各种可能分母是——
n/2*1/3*3/5*5/7*9/11→77；n/2*1/3*3/5*6/7*9/11→385；n/2*1/3*4/5*5/7*9/11→77；n/2*1/3*4/5*6/7*9/11→385；
n/2*2/3*3/5*5/7*9/11→77；n/2*2/3*3/5*6/7*9/11→385；n/2*2/3*4/5*5/7*9/11→77；n/2*2/3*4/5*6/7*9/11→385；
n/2*1/3*3/5*5/7*10/11→77；n/2*1/3*3/5*6/7*10/11→77；n/2*1/3*4/5*5/7*10/11→231；n/2*1/3*4/5*6/7*10/11→77；
n/2*2/3*3/5*5/7*10/11→77；n/2*2/3*3/5*6/7*10/11→77；n/2*2/3*4/5*5/7*10/11→231；n/2*2/3*4/5*6/7*10/11→77；
分母中的2均可被偶数n约掉，实则共出现3种分母77、231和385，其中分母77居多，0误差偶数分母未计。

用素数2--13对连续偶数2--30030进行双筛，最大误差1206/91=13.2527出现在偶数114694中，最小误差-1206/91=-13.2527出现在偶数15336中；
15336、14694模2310余1476和834，模210余6和204，模30余6和24；不与235711筛、2357筛和235筛的最大误差偶数重叠，但都是6的倍数数。
用素数2--13对连续偶数2--30030进行双筛，连乘积计算式是n/2*a/3*b/5*c/7*d/11*e/13，式中a=1或2，b=3或4，c=5或6，d=9或10，e=11或12；
连乘积计算式的分母中的3、5和11有可能被约掉；
已知的具有最大正负误差的偶数是3的倍数，但不是5,7,11,13的倍数；连乘积变成n/2*2/3*3/5*5/7*9/11*11/13=n*99/91，从而误差分母也是91。
连乘积及计算误差的各种可能分母是——
n/2*1/3*3/5*5/7*9/11*11/13→91；n/2*1/3*3/5*6/7*9/11*11/13→455；n/2*1/3*4/5*5/7*9/11*11/13→91；n/2*1/3*4/5*6/7*9/11*11/13→455；
n/2*2/3*3/5*5/7*9/11*11/13→91；n/2*2/3*3/5*6/7*9/11*11/13→455；n/2*2/3*4/5*5/7*9/11*11/13→91；n/2*2/3*4/5*6/7*9/11*11/13→455；
n/2*1/3*3/5*5/7*10/11*11/13→91；n/2*1/3*3/5*6/7*10/11*11/13→91；n/2*1/3*4/5*5/7*10/11*11/13→273；n/2*1/3*4/5*6/7*10/11*11/13→91；
n/2*2/3*3/5*5/7*10/11*11/13→91；n/2*2/3*3/5*6/7*10/11*11/13→91；n/2*2/3*4/5*5/7*10/11*11/13→273；n/2*2/3*4/5*6/7*10/11*11/13→91；
n/2*1/3*3/5*5/7*9/11*12/13→91；n/2*1/3*3/5*6/7*9/11*12/13→455；n/2*1/3*4/5*5/7*9/11*12/13→91；n/2*1/3*4/5*6/7*9/11*12/13→455；
n/2*2/3*3/5*5/7*9/11*12/13→91；n/2*2/3*3/5*6/7*9/11*12/13→455；n/2*2/3*4/5*5/7*9/11*12/13→91；n/2*2/3*4/5*6/7*9/11*12/13→455；
n/2*1/3*3/5*5/7*10/11*12/13→91；n/2*1/3*3/5*6/7*10/11*12/13→91；n/2*1/3*4/5*5/7*10/11*12/13→273；n/2*1/3*4/5*6/7*10/11*12/13→91；
n/2*2/3*3/5*5/7*10/11*12/13→91；n/2*2/3*3/5*6/7*10/11*12/13→91；n/2*2/3*4/5*5/7*10/11*12/13→273；n/2*2/3*4/5*6/7*10/11*12/13→91；
分母中的2均可被偶数n约掉，实则共出现3种分母91、273和455，其中分母91居多，0误差偶数分母未计。

用素数2--17对连续偶数2--510510进行双筛，最大误差18.3904330963123=28450/1547出现在偶数253002中，最小误差-18.3904330963123出现在偶数28450中；
最大误差偶数都是6的倍数数，且都不与前面各级具有最大误差的偶数相重叠。
已知的具有最大正负误差的偶数是3的倍数，但不是5,7,11,13,17的倍数；连乘积变成n/2*2/3*3/5*5/7*9/11*11/13*15/17=n*1485/1547，从而误差分母也是1547=91*17。

如果用更大的前部若干个连续素数对一系列连续偶数进行联合双筛，并假定具有最大误差的偶数都是6的倍数，则连乘积的分子分母可能是
素数阶乘最小分母备注
2 2 1
3 6 3 n/2*1/3，n不是6的倍数
5 30 5 n/2*1/3*3/5，n不是6的倍数
7 210 7 n/2*2/3*3/5*5/7，n是6的倍数
11 2310 77 n/2*2/3*3/5*5/7*9/11，n是6的倍数
13 30030 91 n/2*2/3*3/5*5/7*9/11*11/13，n是6的倍数
17 510510 1547 n/2*2/3*3/5*5/7*9/11*11/13*15/17，n是6的倍数
19 9699690 1729 n/2*2/3*3/5*5/7*9/11*11/13*15/17*17/19，n是6的倍数
23 223092870 5681 n/2*2/3*3/5*5/7*9/11*11/13*15/17*17/19*21/23，n是6的倍数
29 6469693230 164749 n/2*2/3*3/5*5/7*9/11*11/13*15/17*17/19*21/23*27/29，n是6的倍数
31 2.0056E+11 176111 n/2*2/3*3/5*5/7*9/11*11/13*15/17*17/19*21/23*27/29*29/31，n是6的倍数
37 7.42074E+12 6516107 n/2*2/3*3/5*5/7*9/11*11/13*15/17*17/19*21/23*27/29*29/31*35/37，n是6的倍数
41 3.0425E+14 20550799 n/2*2/3*3/5*5/7*9/11*11/13*15/17*17/19*21/23*27/29*29/31*35/37*39/41，n是6的倍数
43 1.30828E+16 21553277 n/2*2/3*3/5*5/7*9/11*11/13*15/17*17/19*21/23*27/29*29/31*35/37*39/41*41/43，n是6的倍数
47 6.1489E+17 1013004019 n/2*2/3*3/5*5/7*9/11*11/13*15/17*17/19*21/23*27/29*29/31*35/37*39/41*41/43*45/47，n是6的倍数
53 3.25892E+19 53689213007 n/2*2/3*3/5*5/7*9/11*11/13*15/17*17/19*21/23*27/29*29/31*35/37*39/41*41/43*45/47*51/53，n是6的倍数
59 1.92276E+21 166719135127 n/2*2/3*3/5*5/7*9/11*11/13*15/17*17/19*21/23*27/29*29/31*35/37*39/41*41/43*45/47*51/53*57/59，n是6的倍数

素数最小可能分母分析
3 3 不言而喻，分母中的2被约掉，剩余3
5 5 分母中的2和3被约掉，剩余5
7 7 分母中的2,3,5被约掉，剩余7
11 77 分母中的2,3,5被约掉，剩余7和11
13 91 分母中的2,3,5和11被约掉，剩余7和13
17 1547 分母中的2,3,5和11被约掉，剩余7,13和17
19 1729 分母中的2,3,5,11和17被约掉，剩余7,13和19
23 5681 分母中的2,3,5,7,11和17被约掉，剩余13,19和23
29 164749 分母中的2,3,5,7,11和17被约掉，剩余13,19,23和29
31 176111 分母中的2,3,5,7,11,17和29被约掉，剩余13,19,23和31
37 6516107 分母中的2,3,5,7,11,17和29被约掉，剩余13,19,23和31,37
41 20550799 分母中的2,3,5,7,11,13,17和29被约掉，剩余19,23和31,37,41
43 21553277 分母中的2,3,5,7,11,13,17和29,41被约掉，剩余19,23和31,37,43
47 1013004019 分母中的2,3,5,7,11,13,17和29,41被约掉，剩余19,23和31,37,43,47
53 53689213007 分母中的2,3,5,7,11,13,17和29,41被约掉，剩余19,23和31,37,43,47,53
59 166719135127 分母中的2,3,5,7,11,13,17和29,41被约掉，剩余19,23和31,37,43,47,53,59

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