分数导数没人懂，超越数没人信，伽罗瓦手稿没人看——他偏要全管一遍

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分数导数没人懂，超越数没人信，伽罗瓦手稿没人看——他偏要全管一遍

原创  南方 Er  南方 Er  2026 年 4 月 18 日 12:46  广东



你有没有过这样一种感觉：手头正做着所有人眼中“正经”的事，脑子里却偏缠着一个“不正经”的问题不放。开会时盯着 PPT 上的进度条，忽然想：为什么进度非得走直线？洗碗时看水流，忽然琢磨：这水要是流一半、停一半，该怎么算？

一百八十多年前，有个法国人一辈子都在跟这类问题纠缠。他叫约瑟夫·刘维尔（Joseph Liouville）。

说句实话，刘维尔这个人，放在任何一个时代，大概都不算“成功人士”的模板。他身体不太好，年轻时被派去修路造桥，干到一半大病一场，只能灰溜溜地回老家躺着。后来去教书，每周的课时量堆到三十五甚至四十个小时——这不是现代大学里讲两节就喝咖啡的节奏，这是从早到晚钉在黑板前，对着一茬又一茬学生反复讲基础知识。有记载说他讲课效果并不好，不是学问不行，是太好了，总忍不住往深里讲，底下那些只想混学分的学生听得云里雾里。

中年以后他跑去从政，竞选议员，还真选上了。可没过多久就被政治现实扇了一巴掌—— 一八四九年改选，他灰头土脸地落选了。从此性情大变，变得尖刻、怨气冲天，连老朋友都不太想搭理。后人翻他的手稿，发现数学公式的缝隙里，会冷不丁冒出一句伤感的诗。

你看，这个人的人生，放在世俗尺度里，谈不上多顺遂。

可就是这个人，在同一段时间里，同时盯上了一堆事。一堆在当时几乎没人理解、没人相信、甚至没人愿意多看一眼的事。


刘维尔

第一件，是一个听起来很无理取闹的问题。

当时刘维尔正在研究电磁学，那是整个欧洲物理学界的热门方向。法拉第的电磁感应刚被发现没几年，聪明人都往这个坑里跳。刘维尔也跳了，写了论文，投给巴黎科学院，按部就班。

可他算着算着，脑子里就岔出去了。他问了一个让同行大概想拍拍他肩膀说“老兄你是不是备课备傻了”的问题：求导，凭什么阶数非得是整数？

什么叫阶数？打个比方。一阶导数告诉你变化的速度，二阶告诉你速度的变化，三阶、四阶依次类推。这就像上楼梯，一阶一阶踩，每步都踩在实处。刘维尔偏要问：台阶和台阶之间的那个位置，能不能站人？从一阶到二阶的“半路上”，函数的模样是什么样的？

这问题搁当时，完全看不到任何用处。电磁学能发电报，热力学能造蒸汽机，你一个“半阶导数”能干嘛？能让火车更快还是枪炮更准？什么都干不了。它只是一颗纯粹的、硌在脑子里的好奇心结石。

从一八三二年到一八三七年，刘维尔硬是给这种“任意阶微分算子”搭出了一套定义。他证明了阶数不仅可以是二分之一，可以是有理数，可以是无理数，甚至可以是复数。复数阶的求导——那已经不是“台阶之间站人”了，那是在楼梯旁边另开了一扇门，门后是一个全新的维度。

他把这些写成了论文，发了。然后，几乎没人搭理。没人懂他在干什么。不是说他写得不清楚，而是当时的数学和物理根本用不上这东西。分数阶导数就像一件造出来却没有使用场景的工具，被安安静静地搁在学术期刊的角落，落了一百年的灰。



可刘维尔好像也不在乎。他的注意力已经跳到别处去了。

第二件，是关于一群“不存在”的数字。

这事说起来有些绕。数字分两类：一类是“代数数”，它们规规矩矩，是某个整系数代数方程的根。比如根号 2 ，是 x^2=2 的解；3/5 ，是 5x=3 的解。它们有户口。

另一类数字，不是任何整系数代数方程的根。它们在数学王国里没有户籍，是流浪者。刘维尔之前，人们怀疑自然常数 e 和圆周率 π 就是这种流浪者，但没人能拿出证据。

刘维尔想证明 e 是超越数。他没成功。那要等到三十多年后埃尔米特（Charles Hermite）出手。

但在一八四四年，他在爬这座山的过程中，自己造了一座山头。他用连分数构造出了无穷多个超越数，硬生生证明：这些“流浪者”不仅存在，而且多得能塞满一个宇宙。到了一八五一年，他又甩出一个更直观的例子——后来被叫做“刘维尔数”的东西。

可当时有人信吗？老实说，大部分同行只是礼貌性地点了点头。这东西太奇怪了，它既不像 π 那样有几何意义，也不像 e 那样长在自然界的生长曲线里。它只是一个被刻意造出来的、证明“存在性”的标本，像一个数学实验室里的合成元素。它证明了超越数存在，但除了证明本身，似乎没有任何其他价值。

刘维尔自己大概也知道这一点。但他还是把它写下来了，发表了，归档了。

然后，他又转身去忙别的了。



第三件，跟他自己的研究没什么关系。

一八四二年，一个叫埃瓦里斯特·伽罗瓦（Evariste Galois）的年轻人的手稿，辗转落到了他手里。伽罗瓦十年前就死了，死在决斗场上，不到二十一岁。死前一夜，他疯狂地写，把自己脑子里关于方程根的对称性的所有想法，潦草地灌进了几十页纸里。


伽罗瓦

那些稿子，在刘维尔接手之前，已经被当时的数学大佬们传阅过了。然后——客气地说——被搁置了。不客气地说，没人看懂，也没人打算花时间看懂。

刘维尔读了。第一遍也没懂，第二遍倒吸一口凉气。

一八四三年九月，他跑到巴黎科学院，当着同行们的面宣布：我在伽罗瓦的遗稿里发现了不得了的东西。他承诺要整理出版，还要附上自己的评注，把那些跳跃的证明一一补齐。

然后他开始拖。拖了整整三年。

直到一八四六年，伽罗瓦关于群论的开天辟地之作，才终于发表在刘维尔自己创办的《纯粹与应用数学杂志》上。而那个承诺过的评注，始终没有出现。后人翻他的手稿，发现他其实写了，写得非常详细，把伽罗瓦留下的逻辑窟窿全填上了。但他就是没拿出来发表。

为什么？没有人确切知道。或许完美主义发作，觉得评注还不够好；或许在这三年里，他的生活发生了太多事——竞选、落选、跟学术对手掐架、被政治失意磨掉了心气。又或许，他只是觉得，让伽罗瓦自己的声音被听见，比他这个注解者的声音重要得多。

无论如何，他做了一件比“自己发现真理”更难的事：他让一个差点被埋没的真理，重新被世界看见。今天回看，如果没有刘维尔那三年的拖延——或者说坚持——群论这个现代数学的基石，可能还要在黑暗中多躺几十年。

好，如果你觉得刘维尔就干了这三件事，那你还是小看他了。


刘维尔

实际上，他的好奇心几乎是一种“病”——一种见到没人管的数学问题就走不动道的病。上面那三件事只是他管过的最出名的三件。他还管过一大堆别的。

比如说，他管过一个叫复变函数的领域。你大概在高等数学里听过一个叫刘维尔定理的东西：如果一个函数在整个复平面上处处解析，而且它有界，那它只能是常数。听起来像句废话？可就是这句废话，后来成了证明代数基本定理的一把钥匙。他还在保角变换里留了一个定理，说的是三维以上空间中所有保角映射无非是平移、旋转、反演这些基本操作的组合——这事儿在今天看来，几乎是给高维几何的变形画了一条不能逾越的边界。他的脑袋似乎天然就长在那些边界问题上。

再比如说，他管过微分方程。不是随便解一解的那种管法。他盯上了一类叫二阶线性微分方程的东西，跟一个叫施图姆（Jacques Charles Francois Sturm）的人一起，搞出了后来每个数学物理系学生都得学的“施图姆-刘维尔理论”。他们研究的不只是怎么解这些方程，而是解背后的骨架：那些本征值怎么分布，本征函数怎么正交，任意函数能不能展开成本征函数的级数。当时的人可能觉得这是纯理论的游戏，但后来量子力学的薛定谔方程、热传导的分离变量法，全都用上了这套骨架。他还顺手证明了一件让学微积分的学生又爱又恨的事：那个叫黎卡提（Riccati）的方程，一般情况下没有初等解法。换句话说，如果你在考场上遇到它，别硬算，换条路。

他还管过代数函数的积分。这件事的起因大概是：他看不下去了。当时的人们碰到积不出来的函数，只能干瞪眼，不知道是自己水平不够还是这个积分根本就没法用初等函数写出来。刘维尔就琢磨：能不能给“积不出来”画一条判定的边界？他硬是搞出了一套判定准则，告诉后人：什么样的代数函数，积分能写成有限项；什么样的，趁早死心。后来人们把这套东西叫“刘维尔第三定理”“刘维尔第四定理”——虽然编号听着像某种行政公文，但它在微分代数里的地位，相当于给“不可能”盖了个章。

他甚至管过统计力学。是的，你没看错，统计力学。他研究哈密顿动力学的时候，发现了一个关于相空间体积的守恒性质——在哈密顿系统里，相空间的体积像一块不可压缩的流体，随时间演化却永远不变形。这就是后来统计力学里的“刘维尔定理”。他大概没想过一百年后会有人用它来描述非平衡态热力学，但那个定理就安安静静地待在那里，等着后来的人来捡。

还有椭圆函数。十九世纪上半叶，阿贝尔（Niels Henrik Abel）和雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi）刚把椭圆函数的大厦搭起来，刘维尔就钻进去了。他对双周期椭圆函数做了深入的研究，这件事跟复分析里的那条“有界整函数必为常数”的定理其实是一体两面——椭圆函数不可能是整函数，因为它有周期性，必然会有极点。你看，他的脑子里好像有一个无形的网，把微分方程、复分析、代数函数这些看起来不相干的领域全串在了一起。

说起来，刘维尔这辈子写了超过四百篇论文，其中大约两百篇是关于数论的——超越数只是他数论工作的冰山一角。他还研究了代数数的丢番图逼近，搞出了一个叫“刘维尔函数”的东西，跟黎曼 ζ 函数的性质紧密相关。他在微分几何里也留了脚印。他创办的《纯粹与应用数学杂志》影响了法国数学整整半个世纪。他还教出了一批学生，包括后来大名鼎鼎的埃尔米特。

但你要是问他：你这辈子最得意的成就是什么？他大概会沉默一会儿，然后说出一件跟你上面看到的都不太一样的事。或者，他根本就不会回答——他正忙着琢磨下一个没人管的问题呢。

好，现在请你后退一步，看看这一堆事摆在一起的画面：分数导数、超越数、伽罗瓦手稿、施图姆-刘维尔理论、复分析里的刘维尔定理、保角变换的刘维尔定理、代数函数积分的判定准则、统计力学里的刘维尔定理、椭圆函数、数论里的刘维尔函数……一个被同行当成智力游戏的分数的导数，一个被当成实验室标本的超越数，一份被大佬们丢进废纸堆的潦草手稿，一堆散落在各个数学角落里的“刘维尔”。任何正常人，但凡有点功利心，都会挑其中一件做做样子就收手，然后把精力放回那些能换教职、能拿奖章、能让同行点头的“正经研究”上去。

可刘维尔偏不。他偏要全管一遍。不是因为他精力过剩——他身体一直不太好，教课累得半死，政治还给他添了一身内伤。也不是因为他有远见——他不可能知道分数导数一百年后会用在黏弹性材料和金融模型里，不可能知道超越数的构造方法后来成了丢番图逼近的一块基石，不可能知道自己救下的那份手稿会变成整个现代代数学的源头，也不可能知道自己在复分析里顺手写下的那条“有界整函数必为常数”的定理会变成证明代数基本定理的利器，更不可能知道自己在相空间里发现的体积守恒性质会被后来的统计物理学家拿来描述整个非平衡态热力学。

他只是单纯地觉得，这些问题有意思。而“有意思”这三个字，对他来说，比“有用”重要得多。



南方 Er