连续乘积与杨辉三角组合数恒等式，20260423

朱明君

连续乘积与杨辉三角组合数恒等式

作者：朱火华
日期：\(2026年4月21日\)
单位：浙江省安吉县章村镇中街50号火华超市经营者，业余数学研究者

\(设n为正整数，y为非负整数，定义连续y+1项升阶乘积：\)
\(P(n,y)=n(n+1)(n+2)…(n+y)\)

\(取归一化常数为阶乘X=(y+1)!，对该乘积作归一化处理，可得表达式：\)
\(a(n)=P(n,y)/(y+1)! = [n(n+1)(n+2)…(n+y)]/(y+1)!\)

\(该式与杨辉三角对应的组合数完全等价，即：\)
\(a(n)=C(n+y, y+1)\)

\(在杨辉三角中，行标、列标均从0开始计数：\)

\(1.组合数C(n+y, y+1)对应三角中第n+y行、第y+1列的数值；\)
\(2.固定y不变时，a(n)随n变化的序列，即为杨辉三角中第y+1条斜列上的所有数。\)

\(综上，完整恒等式为：\)
\(C(n+y, y+1) = [n(n+1)(n+2)…(n+y)]/(y+1)!\)

\(该恒等式直接建立了连续整数升阶乘积与杨辉三角组合数的一一对应关系，是组合数的升阶乘显式表达形式。\)

朱明君

连续乘积与杨辉三角组合数恒等式

设n为正整数，y为非负整数，定义连续y+1项升阶乘积：
P(n,y)=n(n+1)(n+2)…(n+y)

取归一化常数为阶乘X=(y+1)!，对该乘积作归一化处理，可得表达式：
a(n)=P(n,y)/(y+1)! = [n(n+1)(n+2)…(n+y)]/(y+1)!

该式与杨辉三角对应的组合数完全等价，即：
a(n)=C(n+y, y+1)

在杨辉三角中，行标、列标均从0开始计数：

1.组合数C(n+y, y+1)对应三角中第n+y行、第y+1列的数值；
2.固定y不变时，a(n)随n变化的序列，即为杨辉三角中第y+1条斜列上的所有数。

综上，完整恒等式为：
C(n+y, y+1) = [n(n+1)(n+2)…(n+y)]/(y+1)!

该恒等式直接建立了连续整数升阶乘积与杨辉三角组合数的一一对应关系，是组合数的升阶乘显式表达形式。