与其弄懂微积分，不如用好毛线针？

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与其弄懂微积分，不如用好毛线针？

数学家是一个丰富多彩的群体，从具有开创性发现、为数学打开新视野的数学家身上，我们能总结出什么呢？

来源 |《数学巨人传》

作者 | [英]伊恩·斯图尔特

译者 | 张憬

01  跨越 2500 年的 25 位数学巨人

数学开拓者们来自各个历史时期，有各不相同的文化背景和阶层。我为这本书选取的故事跨越了 2500 年。

我们的主人公们生活在古希腊、古埃及、中国、波斯、古印度、意大利、法国、瑞士、德国、俄国、英国、爱尔兰和美国。

有些人像费马、埃达·金、柯瓦列夫斯卡娅一样天生富足，有些人家境不上不下，有些人像高斯和拉马努金一样起点贫寒。有些人像卡尔达诺和芒德布罗一样出身书香门第；

有些人像高斯、拉马努金、牛顿和布尔一样，是家中罕见的职业学者。

欧拉、傅里叶、伽罗瓦、柯瓦列夫斯卡娅、哥德尔和图灵生活在动荡年代；玛大瓦、费马、牛顿和瑟斯顿则较为幸运地处在比较安稳的社会中，或者应该说，至少他们栖身的环境是比较稳定的。

有些人一如傅里叶、伽罗瓦和柯瓦列夫斯卡娅，积极参与政治，前两位还曾因此入狱；欧拉和高斯等人则更想明哲保身。

这里即便存在规律，也只在一定的范围内起作用。书中许多人成长于知识分子家庭。有些人很懂音乐，有些人动手能力很强，有些人则连自行车都不会修。

许多人幼年早慧，在很小的时候就表现出非同寻常的天赋，稀松平常的巧合，比如卧室墙纸上的字、一次偶然的谈话、一本借来的书，都会引发他们对数学的兴趣，进而改变他们的人生。

许多人一开始试图从事其他职业，做律政和神职工作的偏多。有些人的父母为他们骄傲并鼓励他们继续研究，有些人曾被禁止学习数学，有些人为了追求理想要先突破阻碍、获得许可。

有人性格古怪，有人行事无赖，有人疯疯癫癫。大多数人十分正常，和我们普通人一样。大多数人组建了自己的小家庭，但也有牛顿、诺特这样终身未婚的。

02  与其弄懂微积分，不如用好毛线针？

书中提到的数学家大多数是男性，这背后隐藏着偏见。直到近些年，还有不少人认为女性在生理和心理上不适合学习数学，也不适合学习任何理科。从前的观念认为，女性真正应该研修的是家务技能：与其弄懂微积分，不如用好毛线针。

偏见盛行的社会又反过来强化偏见，就连女性自己也常常和男性一样，表示她们不适合追求数学理想。曾经有一段时期，即使女性想要学习数学，她们也会被拦在教室和考场门外，被禁止修得学位、进入学术界。

我们的女性开拓者们同时开辟了两条道路：一条穿越的是数学丛林，另一条穿越的是男性主导的社会丛林。

第二条路让第一条路变得更加艰辛。即便有人教学，有书可看，有时间思考，在数学上获得突破也是艰难的。如果上述条件还要通过斗争才能获得，那就是难上加难。尽管存在这些障碍，依然有一些伟大的女数学家打破束缚，为后人开辟了先例。

时至今日，顶尖的女数学家和女科学家总的来说依然不多，但社会恐怕要让一部分男性精英失望了，我们不再将这种现象简单归咎于女性自身的能力和心态。没有任何证据支持这种偏见。

人们很喜欢为不寻常的数学天赋寻找神经学上的解释。早年颅相学盛行的时候，弗朗茨·加尔（Franz Gall）提出，某些重要的能力与大脑的某个特定区域有关，可以通过测量头骨的形状来评估。如果你擅长数学，你的头部就会有一个“数学凸”。

现在我们已经知道了，颅相学是一种伪科学，不过大脑的特定区域有时确实发挥着特定的作用。如今，遗传学和DNA正流行，人们自然想知道是否存在“数学基因”。然而，人类思考数学只有几千年的历史，这样的时间跨度应该还不足以让生物机制完成筛选，就好比驾驶战斗机的能力不会是自然演化出来的。

也许数学能力源自某些有利于生存的特点，比如敏锐的视觉、持久的记忆力、在树木间攀爬跳跃时用到的技巧。

有时数学天赋似乎源自家族遗传，伯努利家就是个例子，但这类情形不占多数。而且，家庭影响的关键往往不是血脉，而是教养环境，比如家里有一位热爱数学的叔叔，卧室里贴着数学墙纸。就连遗传学家也逐渐意识到了，DNA并不能决定一切。

先驱数学家确实有一些共同点。他们富有创造力和想象力，敢于打破固有观念。他们寻求规律，乐于解决棘手的问题。他们密切关注逻辑要点，但也会沉溺于创造性的逻辑跳跃，即使暂时得不到支持，他们也坚信某些观点值得积极捍卫。

他们有很强的专注力，但正如庞加莱认为的那样，过度沉迷于研究会让人一遍遍走入死胡同。他们需要给自己的潜意识留出思考和整理的时间。他们往往记忆力超群，但也有一些人和希尔伯特一样，并不擅长背诵东西。

他们可以是高斯和欧拉那样的速算天才。欧拉给两位数学家做过一次“裁判”，他们争论的焦点是一个复杂级数求和的小数点后第50位，最终，欧拉在头脑中完成了计算。他们也可以是缺乏相关能力、在计算上不占明显优势的人（多数速算天才并不具备比做算术更高级的能力，不过高斯是个例外）。

他们擅长大量吸收前人的研究，提炼其中的精华并完成内化；但他们也可以完全忽略传统的探索路径。齐曼就曾说过，在开始研究一个问题之前阅读文献是错误的，因为这样做会让你的思维陷入与其他人相同的窠臼。拓扑学家斯梅尔在职业生涯的早期解决了一个在别人眼中相当可怕的问题，恰恰是因为没有人告诉他这个问题很难。

03  强烈的直觉

几乎所有数学家都有强烈的直觉，可能是形式上的，可能是视觉上的。这里的视觉指的是头脑中思考图形、图像的区域，而不是眼神——欧拉失明后工作效率不降反升。

在《数学领域中的发明心理学》（Psychology of Invention in the Mathematical Field）中，作者雅克·阿达马（Jacques Hadamard）调查了一些出色的数学家，询问他们是借助符号还是某种图像来思考研究课题的。多数人选择了视觉想象力，即使他们思考的问题及其解决方案总体上更偏重符号。举例来说，想到欧几里得关于质数有无穷多个的证明，阿达马的头脑中浮现的不是代数公式，而是这样一幅图：已知的质数就像一堆乱糟糟的点，新的质数则远在它们之外。模糊的隐喻图像很常见，欧氏几何那样明确的图形倒是不多。

这种激发可视（可感触）图像的倾向早在花拉子米的《代数学》中就已有所显露，原书名中出现了本意为“平衡”的词语。现在的数学老师也经常使用图像思路教学。等式的两边被看作放置在天平两个托盘中的物体总和，必须保持平衡。对等号两侧进行的操作要符合代数规则，将平衡维持下去。

最终，一个托盘中只剩未知数，另一个托盘中则出现一个具体的数，这就是答案。数学家解方程时经常想象符号在移动（这就是为什么他们依然爱用黑板和粉笔：擦擦写写之间，符号仿佛真的动了起来）。花拉子米的《代数学》中也有更明显的几何思维，包括通过补全正方形来解二次方程的示意图。

据传，曾有一位数学家在一堂技术性很强的代数几何课上用画在黑板上的一个点来表示“一般点”。他经常提到这个点，从而使这堂课变得更易理解。这世上不知有多少黑板和白板上画满了杂乱无章的神秘符号和奇怪的小涂鸦，这些涂鸦还会出现在餐巾纸上，有时甚至能在桌布上看到。从十维流形到代数数域，一切都在这些涂鸦里了。

阿达马估计，大约 90% 的数学家借助图形思考，大约 10% 的数学家以形式化的方式思考。据我所知，至少有一位著名的拓扑学家是不大擅长想象三维图形的。这世上不存在通用的“数学思维”，数学界也没有万能膏药。在多数情况下，数学思维并不会严格遵循逻辑推理的步骤，只有在针对结果整理严谨的证明时，数学家才会这样做。

通常来讲，第一步是获得正确的想法，这往往意味着通过模糊地思考结构问题形成某种战略构想；下一步是想出实现它的策略；最后一步是用形式化的术语重写一切，呈现一个简洁、合乎逻辑的故事（也就是高斯移除脚手架的步骤）。在实践中，大多数数学家会交替使用两种思维：在不清楚如何推进时，或是在试图获得概况时，他们会求助于图像；而在知道该怎么做但不确定会引出什么结果时，他们会求助于符号计算。然而，有些人似乎不管不顾，只用符号来思考。

超强的数学能力与其他任何因素都没有必然联系，它似乎是随机出现的。有些人和高斯一样，3 岁就“开窍”；有些人和牛顿一样，小时候没什么正经事，却在后来的人生中绽放光彩。年幼的孩子一般都喜欢数字、形状和图案，但随着年龄的增长，很多人对这些失去了兴趣。我们中的大多数人能通过受教育达到高中程度的数学水平，但继续提高的人是少数，有些人甚至从未真正入门。

许多职业数学家有一种强烈的印象，那就是在数学天赋面前，并没有人人平等这一说。如果你平日里总觉得学校里教的数学简单明了，却又经常发现有人在为基础知识头疼，你自然会有这种看法。当你发现自己教导的一部分学生对简单的概念感到困惑，另一部分学生却能立即掌握复杂的概念时，这种感觉就会更加强烈。

也许这种趣闻似的证据并不可靠，很多教育心理学家有不同看法。心理学界一直流行一种关于儿童心智的“白板”观点。任何人可以做任何事情，他们需要的只是接受训练并大量练习。只要你足够想干一件事，你就能干成它。（如果你没有干成，那就说明你自己动力不足……真是巧妙的循环论证，体育评论员就非常喜欢这个。）

如果真是这样那就太好了，但史蒂文·平克（Steven Pinker）在《白板》（The Blank Slate）一书中打破了这种过度强调正能量的希望。此外，许多教育工作者还发现了一种疾病，叫作计算障碍（discalculia），它对学习数学的影响就像阅读障碍对阅读和写作的影响一样。我们能否既赞同白板观点，又透彻地理解差异？我不确定。

从生理上讲，人总是会有先天差异的。但出于某种原因，很多人似乎想象（或者说想要想象）我们在心智上起点相同。这并没有多大的意义。大脑结构对心智能力的影响，恰如身体结构对身体素质的影响。有些人记忆力超群，能详细记住所有事情。这种记忆力是任何人都可以通过训练和练习获得的吗？好像不太可能。

白板观点经常给出的论据是，在人类活动的某个领域取得巨大成功的人基本都进行过大量练习。这是事实，但这并不意味着每一个在人类活动的某个领域进行过大量练习的人都会取得巨大成功。亚里士多德和布尔都知道，“从A可以推出B”与“从B可以推出A”是两码事。

先别急着恼火，我并不是要反对向大家平等地教授数学或其他知识。几乎所有人都会在良好的教学和大量的练习中得到提高，任何领域都是如此，这就是我们为教育事业努力的意义。乔治·波利亚（George Pólya）在《怎样解题》（How to Solve It）中揭示了一些有用的技巧。这本书有点儿像讲解“如何拥有超强记忆力”的书，会提供一些有助于加强记忆的技巧，但它的主题是解决数学问题。

然而，拥有超强记忆力的人不会使用加强记忆的技巧。他们想要想起什么，就能想起什么。同样，即使掌握了波利亚教授的诀窍，你也不大可能成为新的高斯，这和努力程度无关。高斯这样的人不需要别人传授他们特殊技巧，他们躺在摇篮里的时候就有自己的独门诀窍了。

总的来说，如果不是真的热爱自己的工作，人们不会努力奋斗、取得成功。数学巨人也会认真练习，即使是天生奇才，也需要一定的锻炼强度来保持状态，因为你必须不断练习才能发挥天赋，但更主要的原因是他们乐意。就算遇到了困难、陷入了枯燥，他们也能以某种奇特的方式乐在其中。

天生的数学家只要不被关起来，就一定会研究数学；哪怕真的身陷囹圄，他们也要在墙上划拉方程。归根结底，这才是数学巨人们身上一脉相承的共同点。他们热爱数学。他们痴迷于数学。他们别无所求。他们可以放弃收入更高的职业，可以不顾家人的劝告，即使许多同事认为他们疯了，他们也义无反顾地坚持下去，甚至能接受默默无闻地死去。他们可以授课多年却分文不取，只为在行业里站稳脚跟。

巨人之所以成为巨人，是因为他们有这样的动力。

这样的动力从何而来？

这是一个谜。

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