证明 3=√(1+2√(1+3√√(1+4√(1+5√(1+6√(1+7√(1+8√(1+9√(1+…)))))))))

luyuanhong

下面是网友 王守恩 在《数学中国》论坛上发表的一个帖子：

elim

\(\;\small 3= \scriptsize\sqrt{1+3^2-1}=\sqrt{1+2\sqrt{1+4^2-1}}=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+5^2-1}}}\)
\(\quad\small=\cdots\)
\(\quad\small=\scriptsize\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots+k\sqrt{1+(k+2)^2-1}}}}\)
\(\quad\small=\scriptsize\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots+k\sqrt{1+(k+1)\sqrt{1+(k+3)^2-1}}}}}\)
\(\quad\small=\cdots\)