欧几里得证明的同余升级：为什么有无穷多个 6k-1 型素数

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欧几里得证明的同余升级：为什么有无穷多个 6k-1 型素数

原创  MoMo 酱的 PA  数学猫 MoMo 酱  2026 年 6 月 1 日 09:00  上海



系列：从同余到局部世界：Ireland--Rosen 数论第 3 章习题精读

本文对应：Kenneth Ireland and Michael Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Chapter 3, Exercise 1.

0. 原题



1. 这不是“再证一次素数无穷多”



2. 先看清楚模 6 下的素数可能长什么样



3. 一个关键小引理



4. 主证明：构造一个躲开旧素数的新数



5. 为什么这里要构造 6p1p2…pr - 1 ？



6. 证明中真正用到的结构是什么？



7. 和教材正文中 4k+3 型素数的证明有什么关系？



8. 这个证明能不能证明所有同余类都有无穷多个素数？



9. 从这道题看“素数分布”的第一层问题



10. 一个容易犯的错误



11. 另一种写法：不用列出“所有这类素数”



12. 这道题的真正收获



13. 给读者的几个小练习



14. 小结：同余让欧几里得证明变得有方向



核心英文名词与标准中文翻译



数学猫 MoMo 酱