\(\huge\color{navy}{^\star\textbf{ 【抽象代数基本概念】}}\text{notes}\)

elim

【Algebra --Basic cepts of Abstract Algebra】 吴志祥
\(\qquad\qquad\)2nd Edition ISBN978-7-03-082326\(\underset{\;}{\;}\)
第一章 群
1.1 半群, 幺半群, 群
定义 1.1.1 若二元运算\(\;\cdot\in S^{S\times S}:\;(a,b)\mapsto a\cdot b\)(常简记为\(ab\)) 满足
\(\qquad\)结合律\((ab) c=a(bc)\;(\forall a,b,c\in S)\) 则称 \((S,\cdot)\) 为半群。
\(\qquad\)若存在 \(e\in S\) 使得 \(e\cdot a=a\cdot e\,(\forall a\in S)\), 则称 \(e\) 为幺元.
\(\qquad\)若\(e,e'\)是幺元, 则\(e=e'e=e'\) 即半群至多有一个幺元. 有幺元
\(\qquad\)的半群Semigroup叫幺半群Monois. 满足\(ab=ba\small\,(\forall a,b\in S)\)
\(\qquad\)即交换律的半群也叫交换半群. 运算符\(\cdot\)若不至误读常被省略. 交换
\(\qquad\)半群的运算有时用\(+\)号表示. 因半群运算满足结合律, \(a^n\)或\(na\)由
\(\qquad\small a^{n}=a^{n-1}a,\,na={\scriptsize(n-1)}a+a{\scriptsize\,(1< n\in\mathbb{N})},a^1=1a=a\) 所定义.
\(\qquad\)设\(e\)是半群\((S,\cdot)\)的幺元, 若对\(u\in S\)有\(v\in S\)使\(vu=uv=e\),
\(\qquad\)则称\(v\)是\(u\)的逆元,\(v=u^{-1}\). 称凡元皆可逆(有逆元)的幺半群为群.
例 1.1.1 \((\mathbb{N},+),\;(\mathbb{N},\times)\)皆为交换幺半群.
对正整数\(n>1,\;\bar{r}\small=\{r+kn\mid k\in\mathbb{Z}\}\,(r\in\mathbb{Z})\), 易见\(\bar{u}=\bar{v}\iff\)
\(\small u\equiv v\pmod n.\) 故\(\small\mathbb{Z}_n:=\{\bar{r}\mid r\in\mathbb{Z}\}=\{\bar{r}\mid r=0,\ldots,n-1\}\)
对半群\((S,\otimes)\), 定义\(\small U\otimes V:=\{a\otimes b\mid a\in U,b\in V\}\;(U,V\subset S)\), 易见
\(\bar{u}+\bar{v}=\overline{u+v},\,\bar{u}\bar{v}=\overline{uv}\). 于是 \((\small\mathbb{Z}_n,+),\,(\mathbb{Z}_n,\cdot)\) 都是交换幺半群.
令 \(M_k(\mathbb{Z}_n)=\{(a_{ij})_{k\times k}\mid a_{ij}\in\mathbb{Z}_n,\,i,j=\overline{1,k}\},\) 定义\(M_k(\mathbb{Z}_n)\)
中的二元运算\(\small(a_{ij})+(b_{ij})=(a_{ij}+b_{ij}),\;(a_{ij})(b_{ij}) = (\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj})\). 则
\(\small(M_k(\mathbb{Z}_n),+),\;(M_k(\mathbb{Z}_n),\cdot)\) 皆为幺半群. 但对\(k>1\)后者是非交换幺半群.
令\(\mathbb{H}=\{a+b\mathbf{i}+c\mathbf{j}+d\mathbf{j}\mid a,b,c,d\in\mathbb{R}\}\) 其中 \(\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}\)
由\(a+b\mathbf{i}+c\mathbf{j}+d\mathbf{j}=\small\begin{pmatrix}a+b\sqrt{-1}&c+d\sqrt{-1}\\-c+d\sqrt{-1}&a-b\sqrt{-1}\end{pmatrix}\) 定义.\(\mathbb{H}\)在矩阵加
法和乘法意义下皆为幺半群. 称\(\mathbb{H}\)的成员为四元数. 半群\((\mathbb{H},+,\cdot)\)非交换.
易见 \(\small\mathbf{i}^2=\mathbf{j}^2=\mathbf{k}^2=\mathbf{ijk}=-1\),对\(\small h=a+b\mathbf{i}+c\mathbf{j}+d\mathbf{k}\),记\(\small h^*=a-b\mathbf{i}\)
\(\small -c\mathbf{j}-d\mathbf{k},\)则\(\small |h|^2= hh^*=a^2+b^2+c^2+d^2.\,\therefore\; h^{-1}=|h|^{-1}h^*\,(h\ne 0)\)
\((X^X,\circ)\) 是幺半群. 其中\(\circ\)是映射的复合\((f\circ g): x\mapsto f(g(x))\).
设 \(\small x_o\in\Omega=\Omega^\circ\subset\mathbb{R}^2,\;L=\{\phi\in\mathscr{C}([0,1],\Omega):\phi(0)=\phi(1)=x_o\}\) 定义
\(\small(\alpha\cdot\beta)(t)=\begin{cases}\alpha(2t),& t\in[0,\frac{1}{2})\\\beta(2t-1),& t\in[\frac{1}{2},1]\end{cases}\;\)则 \(\alpha\beta\in L\,(\forall \alpha,\beta\in L)\)
但 \((L,\cdot)\) 不是半群
例 1.1.4 若半群\(\small(S,\cdot)\)无幺元, 取\(e_{\small S}\not\in S\)为幺元, 则\(\small(S\cup\{e_S\},\cdot)\)成幺半群.
半群\((\mathbb{Z}_+,\,+)\)无幺元. \(\mathbb{N}=\mathbb{Z}_+\cup\{0\},\,(\mathbb{N},+)\)是幺半群(Monoid).

elim

未完待续

elim

未完待续

elim

未完待续