塞瓦定理 + 正弦定理——证明一下子变得简单得很

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塞瓦定理 + 正弦定理——证明一下子变得简单得很

原创  邵勇老师  数学教学研究  2026 年 4 月 27 日 10:55  北京

（1）读懂图形。

下面两图是本期两个证明题的原图。它们各自的已知条件是什么？结论是什么？（提示：紫色和绿角分别是要证明的结论。）



（2）翻译：

第 1 题即左图：在三角形各边外侧各作一个以边为底的等腰三角形，并且让这三个等腰三角形相似，也就是图中的 6 个底角都相等。结论是：三角形三个顶点与各自对边上所作的等腰三角形的顶角顶点的连线共点。

第 2 题即右图：与第一题类似，只是三边外所作三角形与边相邻的两个角的大小有所不同，要求是，与三角形某顶点相连的两个边外三角形在这个顶点处的角相等，如图所示。

（3）证明：

只证明第 1 题即左图。然后，第 2 题即右图的证明类似。

如下图所示。我们只需证明下面的塞瓦定理的三角形式成立即可：


而在三角形 ABD 中，由正弦定理，有

两式相除，得

同理可得


以上三式相乘，得

证毕。

上图中，6 个角全都相等的条件可以放宽：只要

         ∠ABF=∠CBD ，∠BAF=∠CAE ，∠ACE=∠BCD

即可。这会使得上式中标以红色的两个角仍然相等，标以蓝色和绿色的色亦是如此。如下图所示。于是，第 2 题也就解决了。


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