三种哥猜连乘积及其相互转换

yangchuanju · 发表于 2026-6-21 12:26

本帖最后由 yangchuanju 于 2026-6-21 12:35 编辑

三种哥猜连乘积及其相互转换
给定一个正偶数n，一般可用素数连乘积n/2*∏(p-2)/p*∏(p-1)/(p-2)计算偶数n的哥德巴赫拆分素数对数（双计哥猜数），
其中第一个连乘积∏(p-2)/p中的p取尽n平方根内的所有奇素数，第二个连乘积∏(p-1)/(p-2)中的p仅取n平方根内能够整除n的奇素数。
第二个连乘积总是大于等于1，当仅计算给定偶数哥猜数的下限值时往往不计及。
素数连乘积∏(p-2)/p适用于计算偶数p^2+1——q^2-1之间的各个偶数的哥猜数，其中q是素数p后的下一个素数；
哥猜素数连乘积是计算哥猜数的基本连乘积，除素数连乘积表达式外还可以转换成奇合数连乘积和（包括偶合数的）合数连乘积。

最小偶数p^2+1的素数连乘积下限计算式可写成（不计波动因子）——
(p^2+1)/2*∏(p-2)/p；
'=(p^2+1)/2*[1/3*3/5*5/7*9/11*…*(p-2)/p]
=(p^2+1)/2*[1/3*3/5*5/7*7/9*9/11*…*(p-2)/p]*[9/7*15/13*…*(p-2)/(p-4)]
=(p^2+1)/2p*[9/7*15/13*…*(p-2)/(p-4)]
≈p/2*[9/7*15/13*…*(p-2)/(p-4)]≈p/2*∏c/(c-2)。
【如果p是一对孪生素数之大孪素，则连乘积最后一项应为(p-4)/(p-6)。】

在这里已将素数连乘积转换成奇合数连乘积∏c/(c-2)，式中c是n平方根内最大奇素数p前的所有奇合数，进一步——
p/2*[9/7*15/13*…*(p-2)/(p-4)]
=p/2*[9/7*15/13*…*(p-2)/(p-4)]*[4/2*6/4*…*(p-1)/(p-3)]/*[4/2*6/4*…*(p-1)/(p-3)]
=p/2*[9/7*15/13*…*(p-2)/(p-4)]*[4/2*6/4*…*(p-1)/(p-3)]/[(p-1)/2]
=p/(p-1)*[4/2*6/4*8/6*9/7*…*(p-1)/(p-3)]
≈4/2*6/4*8/6*9/7*…*(p-1)/(p-3)≈∏(d/(d-2)
式中d是n平方根内最大奇素数p前的所有合数，在这里已经变成了含各个奇合数和偶合数的合数连乘积∏d/(d-2)。

yangchuanju · 发表于 2026-6-21 12:28

本帖最后由 yangchuanju 于 2026-6-21 12:30 编辑

对于给定偶数，三种连乘数值大致相等
(p^2+1)/2*∏(p-2)/p≈p/2*∏c/(c-2)≈∏d/(d-2)
第一种连乘积表达式是一个大于1的正整数与一个纯小数的乘积，乘积大小变化不明显；
第二种连乘积表达式是一个大于1的正整数与一个大于1的假分数的乘积，两个乘数都是渐增的，其乘积必然是逐渐增大的；
第三种连乘积表达式是一系列大于1的假分数的连乘积，必然是越乘越大。
如果认为连乘积计算值等于给定偶数的真实哥猜数，则哥猜得证；
实际上连乘积计算值一般是大于给定偶数的真实哥猜数的，大多少？
没有简单的、确切的函数式，故不能简单地断言哥猜得证。

经计算，连乘积计算值与给定偶数真实哥猜数的比值随着偶数n的不断增大不断增大，
当n趋近于无穷大时，比值也有可能趋近于无穷大！（同乘以或不乘一个相等的表波动系数不影响比值大小）
迥然比值有可能趋近于无穷大，也不能就此断定哥猜不成立，因为比值的分母也是不断地波动式地趋近于无穷大的。

yangchuanju · 发表于 2026-6-21 15:16

本帖最后由 yangchuanju 于 2026-6-27 10:31 编辑

前面给出——对于给定偶数，三种连乘数值大致相等
(p^2+1)/2*∏(p-2)/p≈p/2*∏c/(c-2)≈∏d/(d-2)
实际关系式应该是
(p^2+k)/2*∏(p-2)/p=(p^2+k)/2p*∏c/(c-2)=(p^2+k)/[p*(p-1)]*∏d/(d-2)
式中k是一个正奇数1,3,5……，直到下一个素数q平方减1为止；
例1：p=7，最小偶数是7*7+1=50，最大偶数是11*11-1=120，k=1,3,5……,71，共36个正奇数；
例2：p=11，最小偶数是11*11+1=122，最大偶数是13*13-1=168，k=1,3,5……,47，共24个正奇数；
例3：p=13，最小偶数是13*13+1=170，最大偶数是17*17-1=288，k=1,3,5……,119，共60个正奇数；
例4：p=17，最小偶数是17*17+1=290，最大偶数是19*10-1=360，k=1,3,5……,71，共36个正奇数。
对于偶数50--120，三种连乘积分别是，1/3*3/5*5/7=0.142857，没有奇素数连乘积视为1，4/2*6/4=3；
对于偶数122--168，三种连乘积分别是，1/3*3/5*5/7*9/11=0.116883，9/7=1.285714，4/2*6/4*8/6*9/7*10/8=6.4285714；
对于偶数170--288，三种连乘积分别是，1/3*3/5*5/7*9/11*11/13=0.098901，9/7=1.285714，4/2*6/4*8/6*9/7*10/8*12/10=7.714285；
对于偶数290--360，三种连乘积分别是，1/3*3/5*5/7*9/11*11/13*15/17=0.087266，9/7*15/13=1.483516，4/2*6/4*8/6*9/7*10/8*12/10*14/12*15/13*16/14=11.868132；……

以下表中的4列双哥数据均未乘波动因子。
偶数素数素数连乘积奇数连乘积合数连乘积素连双哥奇连双哥合连双哥哈李双哥素连/哈李奇连/哈李合连/哈李
50 7 0.1429 1.0000 3.0000 3.57 3.57 3.57 4.31 0.83 0.83 0.83
120 7 0.1429 1.0000 3.0000 8.57 8.57 8.57 6.91 1.24 1.24 1.24
122 11 0.1169 1.2857 6.4286 7.13 7.13 7.13 6.98 1.02 1.02 1.02
168 11 0.1169 1.2857 6.4286 9.82 9.82 9.82 8.45 1.16 1.16 1.16
170 13 0.0989 1.2857 6.4286 8.41 8.41 7.01 8.51 0.99 0.99 0.82
288 13 0.0989 1.2857 7.7143 14.24 14.24 14.24 11.85 1.20 1.20 1.20
290 17 0.0873 1.4835 11.8681 12.65 12.65 12.65 11.91 1.06 1.06 1.06
360 17 0.0873 1.4835 11.8681 15.71 15.71 15.71 13.72 1.15 1.15 1.15
362 19 0.0781 1.4835 13.3516 14.13 14.13 14.13 13.77 1.03 1.03 1.03
530 23 0.0713 1.6397 18.0364 18.89 18.89 18.89 17.78 1.06 1.06 1.06
842 29 0.0664 1.9248 26.9477 27.94 27.94 27.94 24.50 1.14 1.14 1.14
962 31 0.0621 1.9248 28.8726 29.87 29.87 29.87 26.91 1.11 1.11 1.11

yangchuanju · 发表于 2026-6-21 19:05

按给定偶数平方根内的最大奇素数分段，最小偶数的波动系数不都是1，它们的哥猜连乘积不一定是最小的；
只有在不计入波动系数时，它们的哥猜连乘积才是段内最小的。
在不计入波动系数时，段内偶数的各种连乘积都是渐渐增大的；
从上一段转入下一段时连乘积计算值突然下降少许，然后又缓慢增大；
整个连乘积曲线呈锯齿状逐渐增大！

在不计入波动系数时，哈李对数式计算值不用分段，一直是连续增大的；
再计入波动系数后哈李对数式计算值变成波动式增大。
在不计入波动系数时，各种连乘积计算值与哈李对数式计算值之比曲线，呈锯齿状、兼波动式不规则上升趋势；
并随着偶数和根内素数的不断增大并趋近于无穷大时，比值将缓慢地趋近于无穷大！

yangchuanju · 发表于 2026-6-21 19:24

众所周知哈李对数式2c*波因*n/ln(n)^2计算值与偶数真实哥猜素数对之比，随着n的增大并趋近于无穷大时，逐渐趋近于1；
连乘积计算值与哈李对数式计算值之比，随着n的增大并趋近于无穷大时，逐渐趋近于无穷大；
故连乘积计算值与偶数的真实哥猜素数对之比，随着n的增大并趋近于无穷大时，也是逐渐趋近于无穷大的；
因此不能简单的用连乘积计算式来证哥猜，乘上某个折扣系数是无用的！

yangchuanju · 发表于 2026-6-22 07:56

本帖最后由 yangchuanju 于 2026-6-22 07:58 编辑

10的6,8,10,12,14次方的三种双计连乘积（未计入波动系数，奇合连乘积计算至√n内最大的***99，合数连乘积计算至√n内最大的***98）
整数n 根内最大素数素数连乘积奇合连乘积合数连乘积单计哥猜数合连/哥数哈李单哥合连/哈李
1000000 997 0.017312631 17 8648 5402 1.0672 4612 1.2501
100000000 9973 0.009788832 98 489393 291400 1.1196 259405 1.2577
10000000000 99991 0.00627642 628 31381784 18200488 1.1495 16601899 1.2602
1E+12 999983 0.004360935 4361 2180465080 1243722370 1.1688 1152909634 1.2608
4E+12 1999993 0.003954118 7908 7908231660 —— —— 4181524696 1.2608
9E+12 2999999 0.003742146 11226 16839650620 —— —— 8903816965 1.2609
1.6E+13 3999971 0.003601948 14408 28815576792 —— —— 15235573927 1.2609
2.5E+13 4999999 0.003498368 17492 43729585276 —— —— 23121803774 1.2608
3.6E+13 5999993 0.00341724 20503 61510306883 —— —— 32522038407 1.2609
4.9E+13 6999997 0.003350678 23455 82091597828 —— —— 43404474578 1.2609
6.4E+13 7999993 0.003294656 26357 105428966333 —— —— 55743043027 1.2609
8.1E+13 8999993 0.003246341 29217 131476787813 —— —— 69515735953 1.2609
1E+14 9999991 0.00320414 32041 160206978057 90350630388 1.1821 84703564910 1.2609

yangchuanju · 发表于 2026-6-23 06:26

前面曾给出——对于给定偶数，三种连乘数值大致相等
(p^2+1)/2*∏(p-2)/p≈p/2*∏c/(c-2)≈∏d/(d-2)
又给出实际关系式应该是
(p^2+k)/2*∏(p-2)/p=(p^2+k)/2p*∏c/(c-2)=(p^2+k)/[p*(p-1)]*∏d/(d-2)
式中k是一个正奇数1,3,5……，直到下一个素数q平方减1为止。
上述两个公式都没有计入波动系数，第一个公式仅用于计算本段最小偶数的双计哥猜数，第二个公式可用于计算全段偶数的双计哥猜数。
第二式中p是偶数n=p^2+k平方根内的最大奇素数，c是素数p内的最大奇合数（p不是孪生素数之大孪时c=p-2，p是孪生素数之大孪时c=p-4）；d是素数p内的最大合数，d=p-1；

对于c和d也可以另行选取，如c可取作偶数n平方根内的最大奇合数c≤[√n]，d可取作偶数n平方根内的最大偶合数d≤[√n]，c和d的相当大小不确定；
如偶数10000，平方根等于100，根内最大素数是97，按第一种取数法c=95，d=96；按第二种取数法c=99，d=100；
又如偶数9900，平方根等于99.5，根内最大偶数是97，按第二种取数法c=99，d=98。
采用不同的取数法，用三种连乘积计算得到的哥猜数略有不同——
关系式(p^2+k)/2*∏(p-2)/p=(p^2+k)/2p*∏c/(c-2)=(p^2+k)/[p*(p-1)]*∏d/(d-2)或n/2*∏(p-2)/p=n/2p*∏c/(c-2)=n/[p*(p-1)]*∏d/(d-2)是按第一种取数法导得的；
若按第二种取数法则关系式变成n/2*∏(p-2)/p=n/2c*∏c/(c-2)=n/[c*(c-1)]*∏d/(d-2)或n/2*∏(p-2)/p=n/2c*∏c/(c-2)=n/[d*(d-1)]*∏d/(d-2);
亦可简化成n/2*∏(p-2)/p≈√n/2*∏c/(c-2)≈∏d/(d-2)。
当c>p时，n/2*∏(p-2)/p=n/2*[1/3*3/5*5/7*9/11*…*(p-2)/p]=n/2*[1/3*3/5*5/7*9/11*…*(p-2)/p]*[7/9*13/15*…*(c-2)/c]*[9/7*15/13*…*c/(c-2)]=n/2*1/c*[9/7*15/13*…*c/(c-2)]=n/2c*∏c/(c-2)≈√n/2*∏c/(c-2)；
当c>p,d>c时，n/2c*∏c/(c-2)=n/2c*[9/7*15/13*…*c/(c-2)]=n/2c*[9/7*15/13*…*c/(c-2)]*[4/2*6/4*…*d/(d-2)]/[4/2*6/4*…*d/(d-2)]=n/2c*∏d/(d-2)/[d/2]=n/cd*∏d/(d-2)=n/[d*(d-1)]*∏d/(d-2)≈∏d/(d-2)；
或当c>p,d<c时，n/2c*∏c/(c-2)=n/2c*[9/7*15/13*…*c/(c-2)]=n/2c*[9/7*15/13*…*c/(c-2)]*[4/2*6/4*…*(c-1)/(c-3)]/[4/2*6/4*…*(c-1)/(c-3)]=n/2c*∏c/(c-2)/[(c-1)/2]=n/[c*(c-1)]*∏c/(c-2)≈∏d/(d-2)。
上两行中的c和d仅相差1，或c-d=1或d-c=1。

yangchuanju · 发表于 2026-6-23 06:27

设p是10^2n平方根10^n内的最大奇素数，例100,10000,1000000……平方根10,100,1000……内的最大素数是7,97,997……，
10^2n的素数连乘积哥猜数表达式是(10^2n)/2*∏(p-2)/p*4/3；
按第二种取数法，10^2n根内最大奇合数c是10^n-1，最大偶合数是10^n；
7,97,997……的双筛连乘积分别等于1/3*3/5*5/7=1/7=0.142857；1/3*3/5*5/7*9/11*…*95/97=1/26.1116778514303=0.0382970411051247；1/3*3/5*5/7*9/11*…*995/997=1/57.7612962632069=0.0173126308565375；……
100,10000,1000000……按素数连乘积计算，双计哥猜数分别是100/2*1/7*4/3=9.5238；10000/2*0.0382970411051247*4/3=255.3136；1000000/2*0.0173126308565375*4/3=11541.7539；……
实际哥猜数分别等于6*2=12；127*2=254；5402*2=10804；……；连乘积/哥数分别等于0.7937，1.0052，1.0683……

改用奇合数连乘积时并按第二种取数法，取c=9，99，999……，则等于100,10000,1000000……的奇合数连乘积分别等于9/7=1.285714；9/7*15/13*…*95/93*99/97=3.79140706940735；9/7*15/13*…*995/993*999/997=17.295318225681；
100,10000,1000000……按奇合数连乘积计算，双计哥猜数分别是100/2/9*9/7*4/3=9.5238；10000/2/99*3.79140706940735*4/3=255.3136；1000000/2/999*17.295318225681*4/3=11541.7539；……与素数连乘积计算值相同
实际哥猜数分别等于6*2=12；127*2=254；5402*2=10804；……；连乘积/哥数分别等于0.7937，1.0052，1.0683……，未变
在改用奇合数连乘积时如按第一种取数法，取c=无，95，995……，则等于100,10000,1000000……的奇合数连乘积分别等于1；9/7*15/13*…*95/93=3.7148129871971；9/7*15/13*…*995/993=17.2606929639679；
100,10000,1000000……按奇合数连乘积计算，双计哥猜数分别是100/2/7*1*4/3=9.5238；10000/2/97*3.7148129871971*4/3=255.3136；1000000/2/997*17.2606929639679*4/3=11541.7539；……数值没变
实际哥猜数分别等于6*2=12；127*2=254；5402*2=10804；……；连乘积/哥数分别等于0.7937，1.0052，1.0683……，未变

再改用含偶合数连乘积，偶合数d也分别有取10,100,1000……和6,96,996……两种类型，
改用含偶合数连乘积时若取d=10，100，1000……，则等于100,10000,1000000……的合数连乘积分别等于4/2*6/4*8/6*9/7*10/8=9/7*10/2=6.48571；9/7*15/13*…*95/93*99/97*100/2=3.79140706940735*50；9/7*15/13*…*995/993*999/997*1000/2=17.295318225681*500；
100,10000,1000000……按含偶合数连乘积计算，双计哥猜数分别是100/10/9*9/7*10/2*4/3=9.5238；10000/100/99*3.79140706940735*100/2*4/3=255.3136；1000000/1000/999*17.295318225681*1000/2*4/3=11541.7539；……不变
实际哥猜数分别等于6*2=12；127*2=254；5402*2=10804；……；连乘积/哥数分别等于0.7937，1.0052，1.0683……，未变
在改用含偶合数连乘积时若取d=6，96，996……，则等于100,10000,1000000……的合数连乘积分别等于4/2*6/4=3；9/7*15/13*…*95/93*96/2=3.7148129871971*96/2；9/7*15/13*…*995/993*996/2=17.2606929639679*996/2；
100,10000,1000000……按含偶合数连乘积计算，双计哥猜数分别是100/7/6*3*4/3=9.5238；10000/96/97*3.7148129871971*96/2*4/3=255.3136；1000000/996/997*17.2606929639679*996/2*4/3=11541.7539；……不变
实际哥猜数分别等于6*2=12；127*2=254；5402*2=10804；……；连乘积/哥数分别等于0.7937，1.0052，1.0683……，未变

yangchuanju · 发表于 2026-6-23 06:30

本帖最后由 yangchuanju 于 2026-6-23 16:11 编辑

偶数n 平方根最大素数p ∏(p-2)/p n/2*4/3*∏(p-2)/p 单计哥猜数素连哥数/哥数
100 10 7 0.142857143 9.523809524 6 0.793651
10000 100 97 0.038297041 255.3136074 127 1.005172
1000000 1000 997 0.017312631 11541.7539 5402 1.068285
100000000 10000 9973 0.009788832 652588.8207 291400 1.119747
10000000000 100000 99991 0.00627642 41842797.06 18200488 1.149497
1E+12 1000000 999983 0.004360935 2907289680 1243722370 1.168786
1E+14 10000000 9999991 0.00320414 2.13609E+11 90350630388 1.182113
1E+16 100000000 99999989 0.002453197 1.63546E+13 6852674128787 1.193304

偶数n 平方根最大素数最大奇合数c ∏c/(c-2) n/2p*4/3*∏c/(c-2) 奇合连1/哥数
100 10 7 1 1 9.52 0.793651
10000 100 97 95 3.714812987 255.31 1.005172
1000000 1000 997 995 17.26069296 11541.75 1.068285
100000000 10000 9973 9971 97.62402464 652588.82 1.119747
10000000000 100000 99991 99989 627.5854681 41842797.06 1.149497
1E+12 1000000 999983 999983 4360.860384 2907289680.23 1.168786
1E+14 10000000 9999991 99999989 ———— ———— ————

偶数n 平方根最大素数最大奇合数c ∏c/(c-2) n/2c*4/3*∏c/(c-2) 奇合连2/哥数
100 10 7 9 1.285714286 9.52 0.793651
10000 100 97 99 3.791407069 255.31 1.005172
1000000 1000 997 999 17.29531823 11541.75 1.068285
100000000 10000 9973 9999 97.87853428 652588.82 1.119747
10000000000 100000 99991 99999 627.6356794 41842797.06 1.149497
1E+12 1000000 999983 999999 4360.930159 2907289680.23 1.168786
1E+14 10000000 9999991 9999999 32041.39561 213609325437.56 1.182113

偶数n 平方根最大素数最大偶合数d ∏d/(d-2) n/[p*(p-1)]*4/3*∏d/(d-2) 含偶合连1/哥数
100 10 7 6 3 9.52 0.793651
10000 100 97 96 178.3110234 255.31 1.005172
1000000 1000 997 996 8595.825096 11541.75 1.068285
100000000 10000 9973 9972 486753.3869 652588.82 1.119747
10000000000 100000 99991 99990 31376135.48 41842797.06 1.149497
1E+12 1000000 999983 999982 2180390944 2907289680.23 1.168786
1E+14 10000000 9999991 9999990 ———— ———— ————

偶数n 平方根最大素数最大偶合数d ∏d/(d-2) n/[d*(d-1)]*4/3*∏d/(d-2) 含偶合连2/哥数
100 10 7 10 6.428571429 9.52 0.793651
10000 100 97 100 189.5703535 255.31 1.005172
1000000 1000 997 1000 8647.659113 11541.75 1.068285
100000000 10000 9973 10000 489392.6714 652588.82 1.119747
10000000000 100000 99991 100000 31381783.97 41842797.06 1.149497
1E+12 1000000 999983 1000000 2180465080 2907289680.23 1.168786
1E+14 10000000 9999991 10000000 ———— ———— ————

yangchuanju · 发表于 2026-6-24 16:39

阶乘与连乘积
正整数n的阶乘n！是指从1开始直到正整数n的n个连续正整数的连乘积，n!=1*2*3*…*n；
素数p的阶乘p#是指从素数2开始直到素数p的所有素数的连乘积，p#=2*3*5*7*11*…*p；
还有一些其它类型的阶乘，此处从略。
本贴所说的素数连乘积不是素数阶乘，而特指(p-2)/p的连乘积，式中的p不含偶素数2，从奇素数3开始直到奇素数p，∏(p-2)/p=1/3*3/5*5/7*9/11*…*(p-2)/p；
诚然还有∏(p-1)/p、∏(p-1)/(p-2)等涉及素数的连乘积，其中∏(p-1)/p用于计算正整数p内素数个数，∏(p-1)/(p-2)用于计算某偶数的哥猜数（亦即波动系数）。
本贴所说的奇合数连乘积∏c/(c-2)，专指奇合数c以内的所有奇合数9,15,21,…c与各个奇合数减2的商的连乘积，∏c/(c-2)=9/7*15/13*21/19*…*c/(c-2)；
合数连乘积∏d/(d-2)，专指合数d以内的所有合数4,6,8,9,10,…d与各个合数减2的商的连乘积，∏d/(d-2)=4/2*6/4*8/6*9/7*10/8*…*d/(d-2)；
类似地可以定义——从3开始的奇数连乘积3/1*5/3*7/5*…(c/(c-2)=c/1=c；从4开始的偶数连乘积4/2*6/4*8/6*10/8*…*d/(d-2)=d/2；
当然还有一些其它连乘积，不再一一论及。

涉哥猜数的三种连乘积是素数连乘积∏(p-2)/p、奇合数连乘积∏c/(c-2)、合数连乘积∏d/(d-2)。
三种连乘积可以互相转换。
令奇合数连乘积中的c和合数连乘积中的d不大于对应的素数p，所得连乘积数值完全相同。
按奇合数连乘积中的c和合数连乘积中的d不大于对应的素数p，则d=p-1，c一般等于p-2，特殊情况下等于p-4；
∏(p-2)/p=1/3*3/5*5/7*9/11*…*(p-2)/p=1/3*3/5*5/7*7/9*9/11*…*(p-2)/p*【9/7*15/13*…*(p-2)/(p-4)】=1/p*∏c/(c-2)，∏(c/(c-2)=p*∏(p-2)/p；
∏c/(c-2)=9/7*15/13*…*c/(c-2)=4/2*6/4*8/6*9/7*10/8*…*c/(c-2)*(p-1)/(p-3)/【4/2*6/4*8/6*10/8*…*(p-1)/(p-3)】=∏d/(d-2)/【(p-1)/2】，∏d/(d-2)=∏c/(c-2)*(p-1)/2=∏(p-2)/p*p*(p-1)/2；
设给定偶数n的哥德巴赫猜想素数对的波动系数是k，
则素数连乘积表达式是n/2*k*∏(p-2)/p；
奇合数连乘积表达式是n/2p*k*∏c/(c-2)；
含偶合数连乘积表达式是n/[p*(p-1)]*k*∏d/(d-2)。

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