\(Carmichael\) \(numbers\) 的分解

蔡家雄

设 m=6k，

若 m^2+1,  2m^2+1,  3m^2+1 都是质数，

则 (m^2+1)(2m^2+1)(3m^2+1) 必是 卡迈克尔数。


设 m=84k+6 或 m=84k+78，

若 m^2+1,  3m^2+1,  56m^2+1 都是质数，

则 (m^2+1)(3m^2+1)(56m^2+1) 必是 卡迈克尔数。


设 m=42k+6 或 m=42k+36，

若 m^2+1,  2m^2+1,  12m^2+1,  21m^2+1 都是质数，

则 (m^2+1)(2m^2+1)(12m^2+1)(21m^2+1) 必是 卡迈克尔数。


设 m=70k+6 或 m=70k+64，

若 m^2+1,  2m^2+1,  5m^2+1,  70m^2+1 都是质数，

则 (m^2+1)(2m^2+1)(5m^2+1)(70m^2+1) 必是 卡迈克尔数。


设 m=90k+6 或 m=90k+84，

若 m^2+1,  2m^2+1,  45m^2+1,  60m^2+1 都是质数，

则 (m^2+1)(2m^2+1)(45m^2+1)(60m^2+1) 必是 卡迈克尔数。


设 m=510k+6 或 m=510k+504，

若 2m^2+1,  3m^2+1,  5m^2+1,  15m^2+1,  17m^2+1 都是质数，

则 (2m^2+1)(3m^2+1)(5m^2+1)(15m^2+1)(17m^2+1) 必是 卡迈克尔数。



设 (m+1, 2m+1, 3m+1) 与 (6m+1, 12m+1, 18m+1) 都是质数，

且 m=36k+6，

则 (m+1)(2m+1)(3m+1) * (6m+1)(12m+1)(18m+1) 必是 卡迈克尔数。

如 509033161=(7*13*19) * (37*73*109) = 两个卡迈克尔数的乘积。


设 (2m+1, 10m+1, 66m+1) 与 (5m+1, 30m+1, 55m+1) 都是质数，

且 m=330k+6，

则 (2m+1)(10m+1)(66m+1) * (5m+1)(30m+1)(55m+1) 必是 卡迈克尔数。

如 584698468861=(13*61*397) * (31*181*331) = 两个卡迈克尔数的乘积。



是否存在 7个素因子的卡迈克尔数 = 两个卡迈克尔数的乘积 ？并且有两种不同的分拆方式 ？？


设 (m+1, 2m+1, 5m+1, 10m+1) 与 (6m+1, 12m+1, 30m+1) 都是质数，

且 m=60k+6，

则 (m+1)(2m+1)(5m+1)(10m+1) * (6m+1)(12m+1)(30m+1) 必是 卡迈克尔数，

则 (m+1)(5m+1)(12m+1) * (2m+1)(6m+1)(10m+1)(30m+1) 必是 卡迈克尔数。

如 84127131361=(7*13*31*61) * (37*73*181) = 两个卡迈克尔数的乘积，

且 84127131361=(7*31*73) * (13*37*61*181) = 两个卡迈克尔数的乘积。

如 167322186003243570600968222134860395423562961=(359407*718813*1797031*3594061) * (2156437*4312873*10782181)

且 167322186003243570600968222134860395423562961=(359407*1797031*4312873) * (718813*2156437*3594061*10782181)



是否存在 8个素因子的卡迈克尔数 = 两个卡迈克尔数的乘积 ？并且有两种不同的分拆方式 ？？

例1（最小的 双分拆 8素因子卡迈克尔数）
C = 39218375198807825413908500199133921
  = 163*379*2377*16633*216217*277993*432433*617761

分拆一（4+4）
C = (163*379*432433*617761) * (2377*16633*216217*277993)
  = 16503122761725601 * 2376421466715616321

分拆二（3+5）
C = (216217*277993*617761) * (163*379*2377*16633*432433)
  = 37131644585075041 * 1056198173742391681

例2
C = 38610448457205183805452289211975246401
  = 73*1171*5347*66529*99793*151201*432433*194594401

分拆一（3+5）
C = (66529*99793*432433) * (73*1171*5347*151201*194594401)
  = 2870978253343201 * 13448533931681311663201

分拆二（4+4）
C = (73*1171*5347*151201) * (66529*99793*432433*194594401)
  = 69110590348801 * 558676293493346446017601

例3
C = 8819897625708057066460592134761234830532001
  = 163*379*118801*432433*617761*3088801*7484401*194594401

分拆一（3+5）
C = (118801*3088801*7484401) * (163*379*432433*617761*194594401)
  = 2746420762657572001 * 3211415288447459052960001

分拆二（4+4）
C = (163*379*432433*617761) * (118801*3088801*7484401*194594401)
  = 16503122761725601 * 534438103203313391648966401



是否存在 9个素因子的卡迈克尔数 = 两个卡迈克尔数的乘积 ？并且有两种不同的分拆方式 ？？

例1（4+5 与 3+6 双分拆）
C = 2789987203657877406282581090230702081
  = 199*421*1093*23167*23761*66529*72073*96097*120121

分拆一（4+5）
C = (421*1093*66529*72073) * (199*23167*23761*96097*120121)
  = 2206408150346401 * 1264492792604965603681

分拆二（3+6）
C = (72073*96097*120121) * (199*421*1093*23167*23761*66529)
  = 831957935608801 * 3353519552182949429281

例2（4+5 与 3+6 双分拆）
C = 140246659764577195950187264754865147841
  = 199*4621*9241*23167*23761*36037*72073*96097*120121

分拆一（4+5）
C = (4621*9241*36037*72073) * (199*23167*23761*96097*120121)
  = 110911395133899361 * 1264492792604965603681

分拆二（3+6）
C = (72073*96097*120121) * (199*4621*9241*23167*23761*36037)
  = 831957935608801 * 168574219635213939587041

例3（两种不同的 4+5 分拆）
C = 160388716420554107462919949518832321
  = 163*379*1093*2377*8737*16633*25741*432433*617761

分拆一（4+5）
C = (163*379*432433*617761) * (1093*2377*8737*16633*25741)
  = 16503122761725601 * 9718688925500274721

分拆二（4+5）
C = (1093*8737*25741*617761) * (163*379*2377*16633*432433)
  = 151854756434821441 * 1056198173742391681



是否存在 10个素因子的卡迈克尔数 = 两个卡迈克尔数的乘积 ？并且有两种不同的分拆方式 ？？？？

类型一：4 种分拆方式（两种3+7，两种4+6）

C = 2014399835982717990242168544555837782792946991468321
  = 2269*7561*8317*66529*99793*432433*540541*1297297*1621621*4324321

分拆1（3+7）: (66529*99793*432433) * (2269*7561*8317*540541*1297297*1621621*4324321)
  = 2870978253343201 * 701642317783837857979218071025741121

分拆2（3+7）: (540541*1621621*4324321) * (2269*7561*8317*66529*99793*432433*1297297)
  = 3790494975615828481 * 531434508933874917972801012452641

分拆3（4+6）: (2269*7561*8317*1297297) * (66529*99793*432433*540541*1621621*4324321)
  = 185105724264901441 * 10882428644399710517655351643507681

分拆4（4+6）: (432433*540541*1297297*1621621) * (2269*7561*8317*66529*99793*4324321)
  = 491740799472344388526561 * 4096466752696220568878372161

类型二：两种不同的 5+5 分拆

C = 13356580255947768358117079760227126886393285601
  = 5281*7393*8317*21061*23167*45361*51481*72073*270271*1853281

分拆1（5+5）: (5281*7393*8317*21061*45361) * (23167*51481*72073*270271*1853281)
  = 310216707031800048481 * 43055644500083603735867521

分拆2（5+5）: (5281*7393*23167*270271*1853281) * (8317*21061*45361*51481*72073)
  = 453051313870384009740961 * 29481385103694958674241

类型三：4+6 与 5+5 双分拆

C = 824906498112295473518874025533340783820641
  = 313*5281*7393*8317*21061*21841*26209*45361*120121*123553

分拆1（4+6）: (8317*21061*45361*123553) * (313*5281*7393*21841*26209*120121)
  = 981706360459144321 * 840278245448553973981921

分拆2（5+5）: (313*21841*26209*120121*123553) * (5281*7393*8317*21061*45361)
  = 2659129825743830799361 * 310216707031800048481

类型四：3+7 与 5+5 双分拆

C = 913167546501014199003549106284032498522178241
  = 157*313*3169*6553*21061*28513*393121*540541*1621621*4324321

分拆1（3+7）: (540541*1621621*4324321) * (157*313*3169*6553*21061*28513*393121)
  = 3790494975615828481 * 240909842217283260430368961

分拆2（5+5）: (157*313*393121*540541*4324321) * (3169*6553*21061*28513*1621621)
  = 45156138800535398956321 * 20222445292204370735521

蔡家雄

设 a1*a2*a3 是卡迈克尔数，与 a4*a5*a6 是卡迈克尔数，

且 a1*a2*a3*a4*a5*a6 是卡迈克尔数，

在 10^12 范围内找到 5 组本质不同的解，

解 1，
  a1*a2*a3 = 1729 = 7 × 13 × 19
  a4*a5*a6 = 294409 = 37 × 73 × 109
  乘积     = 509033161 = 7 × 13 × 19 × 37 × 73 × 109

解 2，
  a1*a2*a3 = 15841 = 7 × 31 × 73
  a4*a5*a6 = 115921 = 13 × 37 × 241
  乘积     = 1836304561 = 7 × 13 × 31 × 37 × 73 × 241

解 3，
  a1*a2*a3 = 15841 = 7 × 31 × 73
  a4*a5*a6 = 1615681 = 23 × 199 × 353
  乘积     = 25594002721 = 7 × 23 × 31 × 73 × 199 × 353

解 4，
  a1*a2*a3 = 2465 = 5 × 17 × 29
  a4*a5*a6 = 19384289 = 89 × 353 × 617
  乘积     = 47782272385 = 5 × 17 × 29 × 89 × 353 × 617

解 5，
  a1*a2*a3 = 314821 = 13 × 61 × 397
  a4*a5*a6 = 1857241 = 31 × 181 × 331
  乘积     = 584698468861 = 13 × 31 × 61 × 181 × 331 × 397

蔡家雄

参数化的卡迈克尔数的公式

(6k+1)(12k+1)(18k+1)*(36k+1),

(6k+1)(12k+1)(18k+1)*(72k+1),

(6k+1)(12k+1)(18k+1)*(108k+1).

蔡家雄

设 a1*a2*a3*a4 是卡迈克尔数，与 a5*a6*a7*a8 是卡迈克尔数，

且 a1*a2*a3*a4*a5*a6*a7*a8 是卡迈克尔数，可以有吗 ？？？？

蔡家雄

7个素因子的卡迈克尔数 = 3个素因子的卡迈克尔数 * 4个素因子的卡迈克尔数，

如 96578912521 = (7*13*19*109) * (31*61*271)，所有素因子均为6d+1型。


8个素因子的卡迈克尔数 = 3个素因子的卡迈克尔数 * 5个素因子的卡迈克尔数，

要求：所有素因子均为 6d+1 型，Kimi 是否能 找到几个例子 ？？？？

例1
C8 = 6306933889924826996567489761
   = (66529*99793*432433) * (19*37*811*1621*2377)
C3 = 2870978253343201 = 66529*99793*432433
C5 = 2196789154561 = 19*37*811*1621*2377

例2
C8 = 347880306759622545818130661441
   = (72073*96097*120121) * (19*43*2017*5281*48049)
C3 = 831957935608801 = 72073*96097*120121
C5 = 418146509420641 = 19*43*2017*5281*48049

例3
C8 = 7078661543894890516248235494900961
   = (108109*540541*648649) * (19*109*10531*25741*332641)
C3 = 37905326674094881 = 108109*540541*648649
C5 = 186745826114527681 = 19*109*10531*25741*332641

例4
C8 = 2786490466979681285779628312641
   = (540541*1621621*4324321) * (19*127*241*547*2311)
C3 = 3790494975615828481 = 540541*1621621*4324321
C5 = 735125751361 = 19*127*241*547*2311



8个素因子的卡迈克尔数 = 4个素因子的卡迈克尔数 * 4个素因子的卡迈克尔数，

要求：所有素因子均为 6d+1 型，Kimi 是否能 找到几个例子 ？？？？可以有吗 ？？？？

例1
C8 = 4145474179873464659020801
   = (43*547*7561*9241) * (79*1249*3121*8191)
C4a = 1643440518721 = 43*547*7561*9241
C4b = 2522436396481 = 79*1249*3121*8191

例2
C8 = 41628077509770693775764010081
   = (79*1249*3121*8191) * (163*379*432433*617761)
C4a = 2522436396481 = 79*1249*3121*8191
C4b = 16503122761725601 = 163*379*432433*617761

例3
C8 = 4066088249327878418523551241528961
   = (163*379*432433*617761) * (271*2593*270271*1297297)
C4a = 16503122761725601 = 163*379*432433*617761
C4b = 246382960851387361 = 271*2593*270271*1297297

例4
C8 = 543621372928979316139273583237761
   = (271*2593*270271*1297297) * (421*1093*66529*72073)
C4a = 246382960851387361 = 271*2593*270271*1297297
C4b = 2206408150346401 = 421*1093*66529*72073

蔡家雄

设 (m+1, 2m+1, 3m+1) 与 (6m+1, 12m+1, 18m+1) 都是质数，

且 m=36k+6，

则 (m+1)(2m+1)(3m+1)*(6m+1)(12m+1)(18m+1) 必是 卡迈克尔数。


设 (m+1, 5m+1, 12m+1) 与 (2m+1, 6m+1, 40m+1) 都是质数，

且 m=840k+126 或 m=840k+726，

则 (m+1)(5m+1)(12m+1)*(2m+1)(6m+1)(40m+1) 必是 卡迈克尔数。


设 (2m+1, 10m+1, 66m+1) 与 (5m+1, 30m+1, 55m+1) 都是质数，

且 m=330k+6，

则 (2m+1)(10m+1)(66m+1)*(5m+1)(30m+1)(55m+1) 必是 卡迈克尔数。

蔡家雄

参数化的卡迈克尔数的公式

设 m=36k+6，且 4个因子均为质数，

则 (m+1)(2m+1)(3m+1)*(6m+1) 必是 卡迈克尔数，

则 (m+1)(2m+1)(3m+1)*(12m+1) 必是 卡迈克尔数，

则 (m+1)(2m+1)(3m+1)*(18m+1) 必是 卡迈克尔数。

蔡家雄

证实存在 7个素因子的卡迈克尔数 = 两个卡迈克尔数的乘积 ！！！

5394826801 = (7*31*73) * (13*17*23*67)

20064165121 = (7*11*13*41) * (37*73*181)

84127131361 = (7*13*31*61) * (37*73*181)

96578912521 = (7*13*19*109) * (31*61*271)

416937760921 = (37*73*181) * (11*31*41*61)

12528180381601 = (17*37*53*73) * (41*241*521)


是否存在 8个素因子的卡迈克尔数 = 两个卡迈克尔数的乘积 ？？？？

蔡家雄

前几年网上报道，有个要工者余建春发现了一个卡迈克尔数公式是：n=(6k+1)(18k+1)(54k^2+12k+1)，
被浙江大学的一位蔡教授充分肯定。simpley 仔细研究了他的公式后，发现可以找到无数类似的公式。如

(40K+3)(320K+17)(2560K^2+328K+11)

(1450K+4841)(8410K+28073)(6097250K^2+40709330K+67950697)

(50K+11)(10K+3)(250K^2+130K+17)

(150K+121)(90K+73)(6750K^2+10920K+4417)

(350K+481)(490K+673)(85750K^2+235620K+161857)

(450K+241)(810K+433)(182250K^2+195030K+52177)

(550K+911)(1210K+2003)(332750K^2+1101980K+912367)

(650K+271)(1690K+703)(549250K^2+457470K+95257)

(850K+4231)(2890K+14383)(1228250K^2+12226570K+30427237)

(950K+1841)(3610K+6993)(1714750K^2+6644680K+6437057)

(1050K+4261)(4410K+17893)(2315250K^2+18789330K+38121037)

(1150K+21)(5290K+93)(3041750K^2+109020K+977)

(1350K+11581)(7290K+62533)(4920750K^2+84422520K+362097337)

(1450K+4841)(8410K+28073)(6097250K^2+40709330K+67950697)

(18K+1)(6K+1)(54K^2+12K+1)

(54K+13)(54K+13)(1458K^2+702K+85)

(126K+271)(294K+631)(18522K^2+79590K+85501)

(162K+25)(486K+73)(39366K^2+11988K+913)

(198K+361)(726K+1321)(71874K^2+261822K+238441)

(234K+973)(1014K+4213)(118638K^2+986232K+2049625)

(306K+865)(1734K+4897)(265302K^2+1499196K+2117953)

(342K+2107)(2166K+13339)(370386K^2+4562850K+14052637)

(378K+277)(2646K+1933)(500094K^2+731808K+267721)

(414K+1585)(3174K+12145)(657018K^2+5029410K+9624913)

(486K+265)(4374K+2377)(1062882K^2+1157166K+314953)

(522K+2521)(5046K+24361)(1317006K^2+12718704K+30707041)

以上这些都是三个因数的公式，simpley 还可以找到无数个四个五个因数的公式。

蔡家雄

设 (m+1, 2m+1, 5m+1, 10m+1) 与 (6m+1, 12m+1, 30m+1) 都是质数，

且 m=60k+6，

则 (m+1)(2m+1)(5m+1)(10m+1) * (6m+1)(12m+1)(30m+1) 必是 卡迈克尔数，

则 (m+1)(5m+1)(12m+1) * (2m+1)(6m+1)(10m+1)(30m+1) 必是 卡迈克尔数。

如 84127131361=(7*13*31*61) * (37*73*181) = 两个卡迈克尔数的乘积，

且 84127131361=(7*31*73) * (13*37*61*181) = 两个卡迈克尔数的乘积。

如 167322186003243570600968222134860395423562961=(359407*718813*1797031*3594061) * (2156437*4312873*10782181)

且 167322186003243570600968222134860395423562961=(359407*1797031*4312873) * (718813*2156437*3594061*10782181)



设 (m+1, 2m+1, 3m+1, 18m+1) 与 (5m+1, 10m+1, 45m+1) 都是质数，

且 m=90k+6，

则 (m+1)(2m+1)(3m+1)(18m+1)*(5m+1)(10m+1)(45m+1) 必是 卡迈克尔数。