欧拉之四——费马定理

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欧拉之四——费马定理

原创  张天蓉  天舸  2026 年 7 月 28 日 06:43  美国

费马定理首次突破，解析数论欧拉猜想

欧拉研究了费马最后猜想（费马大定理），并作出了首次突破。欧拉证明了 n=3 时的费马猜想：即“任何正整数的立方，不可能表示成另外两个正整数立方之和”。据说欧拉去翻过费马的手稿，终于在一个不起眼的地方发现了费马对 n=4 的证明。费马也声称用他的无穷递降法他也证明了 n=3 的情况，但据说没有找到费马证明 n=3 的完整记录。

对 n=4 ，费马证明的思路大概如下：

1，证明更强的命题：“ x^4+y^4=z^2 没有正整数解”，来证明“ x^4+y^4=z^4 没有正整数解”；

2，利用毕达哥拉斯素勾股数三元组 (a,b,c) 的性质，可以写成：a=2mn，b=m^2-n^2，c=m^2+n^2；

3，运用费马的“无穷递降法”完成证明。

无穷递降法基于一个简单的事实：你不可能得出一个无限的正整数序列，其中每一项都比前一项小。无论你从多大的数开始，只要是递减，整数序列注定会终止。所以，如果你从某个命题得到了这样的正整数递减序列，那么就可以用反证法证明这个命题不存在。费马这个看似简单的定理在数论上很有用，因此也有着深远的数学意义。

距费马 100 年后的欧拉，针对（n=3）的证明和费马的不同。两者的本质区别在于思维方法与使用的数学工具不同：费马主要依赖纯实数代数和独创的无穷递降法（无需求助于复数）；欧拉则开创性地将复数引入数论，利用复数域的代数性质进行论证，欧拉的工作是代数数论的雏形。

1770 年，欧拉将费马猜想（n=3）的方程 x^3+y^3=z^3 变形为：



变换的过程如下：



欧拉的这个变换将复数引进了数论，使用了艾森斯坦整数。事实上，艾森斯坦那时还未出生，也还没有以他命名的概念，天才的欧拉却超前使用这类数学对象，来解决数论问题。因此，欧拉是现代代数数论的开启者。

然后，欧拉通过研究这些复数因子的互素性质，最终同样用无穷递降法，给出了费马猜想 n=3 的证明。欧拉的证明中有一个漏洞，之后被高斯解决。

欧拉在研究费马最后猜想时，也提了一个猜想，不过后来被一篇“最短的数学论文”否定。

欧拉猜想，说的是以下方程无正整数解：



比如说，当 n=4 时的欧拉猜想，说的是方程：a1^4 + a2^4 + a3^4 = b^4无正整数解。当 n=5 时的欧拉猜想，说的是方程：a1^5 + a2^5 + a3^5 + a4^5 = b^5 无正整数解。

欧拉于 1769 年提出这个猜想，一直到欧拉去世，也仍然是个猜想，因为无人证明也无人否定。事实上，持续了将近 200 年，也是这个状况。不过后来，现代电子计算机发展起来了，速度越来越快。终于在 1966 年，L. J. Lander 和 T. R. Parkin ，在《美国数学学会公报》上，发表了他们的论文，用两句话推翻了欧拉猜想。他们利用当时最快的电脑 CDC 6600 找出了欧拉猜想的反例：

27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 = 144^5

1988 年，诺姆·埃尔奇斯 Noam Elkies 找出一个制造反例的方法。他给出的最小反例如下：



Roger Frye 以埃尔奇斯的技巧用电脑直接搜索，找出 n=4 时最小的反例：



新书出版消息



作者：张天蓉

ISBN：978-7-5232-2818-0

出版单位：世界图书出版上海有限公司

出版时间：2026 年 5 月

天舸