欧拉常数及其在求素数个数、哥猜素数对中的应用

yangchuanju · 发表于 2026-8-10 22:02

欧拉常数及其在求素数个数、哥猜素数对中的应用
欧拉常数，即欧拉-马斯刻罗尼常数(Euler-Mascheroni constant)，一般用希腊字母γ表示，读音 gamma，
欧拉-马斯刻罗尼常数γ是数学中的一个重要常数，定义为调和级数与自然对数之差当项数趋于无穷时的极限，其近似值为γ≈0.57721；
更精确一些是——γ=0.577215664901532860606512090082402431042...

yangchuanju · 发表于 2026-8-10 22:04

本帖最后由 yangchuanju 于 2026-8-12 15:46 编辑

欧拉常数常常作为自然对数e的指数或负指数，形成另一个复合常数——梅滕斯常数e^γ或e^(-γ)，应用在求素数个数的连乘积计算式之中，
梅滕斯常数e^γ=1.7810724179901979852365041031071795491696452143034302053...

求素数个数的连乘积x*∏(1-1/p)筛至整数x平方根内最大素数p时，一般大于真实素数个数，随着x的增大，偏差（波动式的）增大，
当x相当大并趋近于无穷大时，偏差趋近于常数2*e^(-γ)≈1.12291896713377；

类似的，在求给定偶数n的哥猜素数对数在用连乘积计算式n/2*∏(1-2/p)*∏(p-2)/(p-1)时，连乘积计算值也是一般大于真实素数对数的，随着n的增大，偏差（波动式的）增大，
当n相当大并趋近于无穷大时，偏差趋近于常数[2*e^(-γ)]^2≈1.26094700674877。

yangchuanju · 发表于 2026-8-10 22:05

本帖最后由 yangchuanju 于 2026-8-10 22:14 编辑

求素数个数的连乘积x*∏(1-1/p)筛至整数x平方根内最大素数p时，一般大于真实素数个数；当x相当大并趋近于无穷大时，根据梅滕斯定理需除以一个常数2*e^(-γ)≈1.12291896713377；

求给定偶数n的哥猜素数对数在用连乘积计算式n/2*∏(1-2/p)*∏(p-2)/(p-1)时，连乘积计算值也是一般大于真实素数对数的，当n相当大并趋近于无穷大时，需除以一个常数[2*e^(-γ)]^2≈1.2609470067487。
亦或在用连乘积计算式求算给定偶数哥猜素数对数时，连乘积存在的最大偏差不超过真实哥猜素数对数的1.261倍。

鲁思顺不是喜欢用连乘积计算式证哥猜吗？
据此鲁思顺在用连乘积计算哥猜数时其加强（打折）系数8/9=0.8889是不够的，最好打7折，或5折，以确保不会再有反例存在。

yangchuanju · 发表于 2026-8-11 05:16

几组不同偶数的哥猜连乘积——随着偶数的不断增大，连乘积计算式的误差逐渐增大：
n 10^n 最大素数连乘积波动因子哥猜数连乘哥数连乘/哥数
1 10 3 0.3333 1.3333 2 1.11 0.5556
2 100 7 0.1429 1.3333 6 4.76 0.7937
3 1000 31 0.0621 1.3333 28 20.70 0.7392
4 10000 97 0.0383 1.3333 127 127.66 1.0052
5 100000 313 0.0246 1.3333 810 820.39 1.0128
6 1000000 997 0.0173 1.3333 5402 5770.88 1.0683
7 10000000 3137 0.0128 1.3333 38807 42642.3 1.0988
8 100000000 9973 0.0098 1.3333 291400 326294.4 1.1197
9 1000000000 31607 0.0077 1.3333 2274205 2582599.6 1.1356
10 10000000000 99991 0.0063 1.3333 18200488 20921398.5 1.1495
11 1E+11 316223 0.0052 1.3333 149091160 172979150.7 1.1602
12 1E+12 999983 0.0044 1.3333 1243722370 1453644840 1.1688
13 1E+13 3162277 0.0037 1.3333 10533150855 12386409457 1.1759
14 1E+14 9999991 0.0032 1.3333 90350630388 1.06805E+11 1.1821
15 1E+15 31622743 0.0028 1.3333 783538341852 9.30385E+11 1.1874
16 1E+16 99999989 0.0025 1.3333 6852674128787 8.17732E+12 1.1933

n 2^n 最大素数连乘积波动因子哥猜数连乘哥数连乘/哥数
1 2 1 1 1 0 0.50 ——
2 4 1 1 1 1 1.00 1
3 8 1 1 1 1 2.00 2
4 16 3 0.3333 1 2 1.33 0.6667
5 32 5 0.2000 1 2 1.60 0.8000
6 64 7 0.1429 1 5 2.29 0.4571
7 128 11 0.1169 1 3 3.74 1.2468
8 256 13 0.0989 1 8 6.33 0.7912
9 512 19 0.0781 1 11 9.99 0.9086
10 1024 31 0.0621 1 22 15.90 0.7225
11 2048 43 0.0533 1 25 27.27 1.0910
12 4096 61 0.0459 1 53 46.96 0.8861
13 8192 89 0.0391 1 76 80.08 1.0537
14 16384 127 0.0343 1 151 140.42 0.9300
15 32768 181 0.0297 1 244 243.52 0.9980
16 65536 251 0.0266 1 435 435.97 1.0022
17 131072 359 0.0236 1 749 773.97 1.0333
18 262144 509 0.0210 1 1314 1379.05 1.0495
19 524288 719 0.0190 1 2367 2492.87 1.0532
20 1048576 1021 0.0172 1 4239 4502.75 1.0622
21 2097152 1447 0.0156 1 7471 8199.61 1.0975
22 4194304 2039 0.0142 1 13705 14940.18 1.0901
23 8388608 2887 0.0130 1 24928 27332.03 1.0964
24 16777216 4093 0.0120 1 45746 50250.88 1.0985
25 33554432 5791 0.0111 1 83467 92768.98 1.1114
26 67108864 8191 0.0102 1 153850 171677.74 1.1159
27 134217728 11579 0.0095 1 283746 318591.20 1.1228
28 268435456 16381 0.0088 1 525236 592129.21 1.1274
29 536870912 23167 0.0082 1 975685 1104308.73 1.1318
30 1073741824 32749 0.0077 1 1817111 2065494.79 1.1367
31 2147483648 46337 0.0072 1 3390038 3869035.92 1.1413
32 4294967296 65521 0.0068 1 6341424 7263389.60 1.1454
33 8589934592 92681 0.0064 1 11891654 13658932.7 1.1486
34 17179869184 131071 0.0060 1 22336060 25737053.3 1.1523
35 34359738368 185363 0.0057 1 42034097 48581542.3 1.1558
36 68719476736 262139 0.0053 1 79287664 91848700.0 1.1584
37 1.37439E+11 370723 0.0051 1 149711134 173898027.1 1.1616
38 2.74878E+11 524287 0.0048 1 283277225 329731632.5 1.1640
39 5.49756E+11 741431 0.0046 1 536710100 626130752.0 1.1666
40 1.09951E+12 1048573 0.0043 1 1018369893 1190494225.7 1.1690

p p# 最大素数连乘积波动因子哥猜数连乘哥数连乘/哥数
2 2 1 1 1 0 0.50 ——
3 6 1 1 1 1 1.50 1.5000
5 30 5 0.2 2.666666667 3 4.00 1.3333
7 210 13 0.0989 3.2 19 16.62 0.8745
11 2310 47 0.0510 3.555555556 114 104.73 0.9187
13 30030 173 0.0304 3.878787879 905 885.18 0.9781
17 510510 709 0.0191 4.137373737 9493 10070.92 1.0609
19 9699690 3109 0.0128 4.380748663 124180 136157.57 1.0965
23 223092870 14929 0.0090 4.589355742 2044847 2302808.4 1.1262
29 6469693230 80429 0.0065 4.759331881 43755729 50200067.0 1.1473
31 2.0056E+11 447829 0.0049 4.923446773 1043468386 1213390098.8 1.1628
37 7.42074E+12 2734099 0.0038 5.064116681 30309948241 35598549191.1 1.1745

n n! 最大素数连乘积波动因子哥猜数连乘哥数连乘/哥数
1 1 1 1 1 0 0.25 ——
2 2 1 1 1 0 0.50 ——
3 6 1 1 1 1 1.50 1.5000
4 24 3 0.3333 2 3 4.00 1.3333
5 120 7 0.1429 2.6667 12 11.43 0.9524
6 720 23 0.0713 2.6667 39 34.22 0.8774
7 5040 67 0.0445 3.2000 184 179.39 0.9750
8 40320 199 0.0285 3.2000 951 920.10 0.9675
9 362880 601 0.0201 3.2000 5531 5833.12 1.0546
10 3628800 1901 0.0145 3.2000 38713 42122.38 1.0881
11 39916800 6317 0.0108 3.5556 346207 384431.58 1.1104
12 479001600 21881 0.0083 3.5556 3130812 3543861.66 1.1319
13 6227020800 78901 0.0065 3.8788 34444964 39509420.8 1.1470
14 87178291200 295259 0.0052 3.8788 382437428 443476810.1 1.1596
15 1.30767E+12 1143529 0.0043 3.8788 4637235145 5423905489.1 1.1696

yangchuanju · 发表于 2026-8-11 06:25

用连乘积求算素数个数时的误差变化

整数根内最大素数连乘积素数个数连乘积/个数
10 3 0.333333333 4 0.833333333
100 7 0.228571429 25 0.914285714
1000 31 0.152852151 168 0.909834234
10000 97 0.12031729 1229 0.978985276
100000 313 0.096519387 9592 1.006248822
1000000 997 0.080965264 78498 1.031430909
10000000 3137 0.069601396 664579 1.047300556
100000000 9997 0.060884692 5761455 1.056758969
1000000000 31607 0.054166822 50847534 1.06527924
10000000000 99991 0.048752918 455052511 1.071369055
1E+11 316223 0.044330462 4118054813 1.076490343
1E+12 999983 0.04063821 37607912018 1.080576081
1E+13 3162277 0.037512684 3.46066E+11 1.083976311
1E+14 9999991 0.034833775 3.20494E+12 1.086876993

wangyangke · 发表于 2026-8-11 06:28

实话实说：yangchuanju蹦蹦跳跳，其在哥德巴赫猜想方面，与鲁思顺不相上下或者相当。

yangchuanju · 发表于 2026-8-11 06:58

当正整数较大时，筛分至整数平方根以内时的素数连乘积无法精确计算，该整数以内的素数个数也无法精确计算，连乘积计算式失去计算价值，
幸好先人们研究出素数定理公式，可用于计算大整数以内的素数个数——π(x)≈x/ln(x)，由于按素数定理计算出的计算值一般小于真实的素数个数值，
因此当用素数定理计算值代替素数个数值时，连乘积与（素数定理）素数个数的比值要变得大一些。
不过，当整数不断增大并趋近于无穷大时，素数定理计算值趋近于它的真实素数个数值，
因而，当整数不断增大并趋近于无穷大时，连乘积计算值与素数定理计算值之比也应该不超过2*e^(-γ)≈1.12291896713377≈1.123。

类似的，当正偶数较大时，筛分至偶数平方根以内时的素数连乘积无法精确计算，该偶数的素数对数也无法精确计算，连乘积计算式失去计算价值，
幸好先人们研究出对数计算式，可用于计算大偶数的哥猜素数对数——r(n)≈2c*n/ln(n)^2，由于按对数计算出的计算值一般小于真实的素数对数值，
因此当用对数计算式计算值代替素数对数值时，连乘积与（对数计算式）素数对数的比值要变得大一些。
不过，当偶数不断增大并趋近于无穷大时，对数计算式计算值趋近于它的真实素数对数值，
因而，当偶数不断增大并趋近于无穷大时，连乘积计算值与对数计算式计算值之比也应该不超过
[2*e^(-γ)]^2≈1.26094700674877≈1.261。

yangchuanju · 发表于 2026-8-12 07:11

本帖最后由 yangchuanju 于 2026-8-12 10:17 编辑

哥猜素数对求算中所用连乘积计算式的误差究竟有多大？
这个问题一直困扰着我——
崔坤一直强调误差“阶不可估”，请注意在这里崔坤所用的字眼是“阶”，而不是“皆”字；
若“阶不可估”，意味着误差的大小与真实值大小相当；反之若是“皆不可估”，则表示误差大小无人可估、无人知道而已。
志明在其博贴中强调，误差“不会很大”，但他也说不清误差到底有多大。
鲁思顺认为误差很小，并会互相抵消。

我一直认为，连乘积计算式的误差是随着偶数、素数筛的增大，逐渐增大的，当偶数趋近于无穷大时，绝对误差也要趋近于无穷大；
计算表明——
对于一系列连续偶数，用素数3,5,7……联筛，误差越来越大，在筛分至百级素数时，误差已达所用素数的数倍；
对于给定大偶数，用素数3,5,7……联筛，误差先是逐渐增大，后又慢慢降低，最后达到一个不算小的数值。

系列偶数的真实哥猜素数对数很难计算，估算式倒是不少，最知名的是哈李对数计算式、连乘积计算式。
哈李对数计算式在偶数不是非常大时，其计算值通常是小于真实的哥猜素数对数的，比值在百分之80至94；
该式被认为是一个渐进计算式，当偶数趋近于无穷大时，对数计算式的计算值趋近于偶数的真实哥猜素数对数。
连乘积计算式对于千级、万级、十万级偶数，计算值一般大于相应偶数的真实哥猜素数对数，一般大百分之十几；
更大的连乘积无法精确计算，谈不上用它计算百万级、千万级偶数的哥猜数。

yangchuanju · 发表于 2026-8-12 07:12

本帖最后由 yangchuanju 于 2026-8-12 10:19 编辑

连乘积计算式的计算误差究竟有多大？
对此我与鲁思顺争论不休——
鲁认为很小，但他拿不出具体数据；
我认为很大，但到底能达到多大，也没有说清。

近日，反复查看并翻阅了有关梅滕斯定理、大傻哥猜证明等介绍和博贴，初步明晰——
尽管连乘积计算值的绝对误差会趋近于无穷大，但相当误差不一定很大，可能要趋近于某个固定值，如1.2609（大傻）。
如对于给定素数筛23，与其对应的偶数是530--840，误差由530的1.062315逐渐增大到1.224021；
偶数842计入素数29的控制范围，误差降低1.150411，当偶数再加大一些（不超过960），误差又逐渐增大一些。
给定一系列偶数10-26-50-122-170-290-362-530-843……218090-220000，“连乘积哥猜数/真实哥猜数”曲线呈不规则锯齿状，跨度不等，最低点时小时大，最高点也是时小时大，但都不超过1.075995；
类似的“连乘积哥猜数/哈李对数式哥猜数”曲线也呈不规则锯齿状，跨度不等，最低点时小时大，最高点也是时小时大，但都不超过1.252374；
偶数再继续增大，“连乘积哥猜数/真实哥猜数”曲线不便做出，但“连乘积哥猜数/哈李对数式哥猜数”曲线是可以做出的，
图形加宽，图线规律不变，锯齿状图线的最高点会越来越高，最后趋近于1.260947。

由于哈李对数式哥猜数计算值逐渐趋近于真实哥猜数，故无穷大偶数的连乘积哥猜数计算值与真实哥猜数之比最终趋近于1.260947。

yangchuanju · 发表于 2026-8-12 07:13

本帖最后由 yangchuanju 于 2026-8-12 10:26 编辑

偶数连乘积哥数/哈李对数哥数
530 1.062315
532 1.063591
534 1.064863
536 1.066131
538 1.067396
540 1.068656
542 1.069912
544 1.071164
546 1.072413
548 1.073657
550 1.074898
552 1.076135
554 1.077368
556 1.078598
558 1.079824
560 1.081046
562 1.082264
564 1.083479
566 1.084690
568 1.085898
570 1.087102
572 1.088302
574 1.089499
576 1.090693
578 1.091882
580 1.093069
582 1.094252
584 1.095431
586 1.096608
588 1.097780
590 1.098950
592 1.100116
594 1.101279
596 1.102438
598 1.103594
600 1.104747
602 1.105897
604 1.107044
606 1.108187
608 1.109327
610 1.110464
612 1.111598
614 1.112728
616 1.113856
618 1.114981
620 1.116102
622 1.117220
624 1.118336
626 1.119448
628 1.120557
630 1.121664
632 1.122767
634 1.123868
636 1.124965
638 1.126060
640 1.127151
642 1.128240
644 1.129326
646 1.130409
648 1.131490
650 1.132567
652 1.133642
654 1.134714
656 1.135783
658 1.136849
660 1.137913
662 1.138974
664 1.140032
666 1.141087
668 1.142140
670 1.143190
672 1.144238
674 1.145283
676 1.146325
678 1.147365
680 1.148402
682 1.149436
684 1.150468
686 1.151497
688 1.152524
690 1.153548
692 1.154570
694 1.155589
696 1.156606
698 1.157621
700 1.158632
702 1.159642
704 1.160649
706 1.161653
708 1.162656
710 1.163655
712 1.164653
714 1.165648
716 1.166640
718 1.167631
720 1.168619
722 1.169604
724 1.170588
726 1.171569
728 1.172547
730 1.173524
732 1.174498
734 1.175470
736 1.176439
738 1.177407
740 1.178372
742 1.179335
744 1.180296
746 1.181255
748 1.182211
750 1.183165
752 1.184117
754 1.185067
756 1.186015
758 1.186961
760 1.187905
762 1.188846
764 1.189785
766 1.190723
768 1.191658
770 1.192591
772 1.193522
774 1.194451
776 1.195378
778 1.196303
780 1.197226
782 1.198147
784 1.199066
786 1.199983
788 1.200898
790 1.201811
792 1.202722
794 1.203631
796 1.204538
798 1.205444
800 1.206347
802 1.207248
804 1.208148
806 1.209045
808 1.209941
810 1.210835
812 1.211727
814 1.212617
816 1.213505
818 1.214391
820 1.215276
822 1.216158
824 1.217039
826 1.217918
828 1.218795
830 1.219671
832 1.220544
834 1.221416
836 1.222286
838 1.223155
840 1.224021
842 1.140411
844 1.141214
846 1.142016
848 1.142817
850 1.143615
852 1.144412
854 1.145208
856 1.146002
858 1.146794
860 1.147585
862 1.148374
864 1.149161
866 1.149948
868 1.150732
870 1.151515
872 1.152296
874 1.153076
876 1.153855
878 1.154632
880 1.155407
882 1.156181
884 1.156953
886 1.157724
888 1.158494
890 1.159261
892 1.160028
894 1.160793
896 1.161556
898 1.162319
900 1.163079
902 1.163838
904 1.164596
906 1.165352
908 1.166107
910 1.166861
912 1.167613
914 1.168364
916 1.169113
918 1.169861
920 1.170607
922 1.171352
924 1.172096
926 1.172838
928 1.173579
930 1.174319
932 1.175057
934 1.175794
936 1.176530
938 1.177264
940 1.177997
942 1.178728
944 1.179459
946 1.180188
948 1.180915
950 1.181642
952 1.182367
954 1.183090
956 1.183813
958 1.184534
960 1.185254

剪头留尾，误差由1.06升到1.22，再降到1.14后再升到1.18——
530 1.062315
840 1.224021
842 1.140411
960 1.185254

		自动登录	找回密码
密码			注册

欧拉常数及其在求素数个数、哥猜素数对中的应用

浏览过的版块