四次倒数积分

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四次倒数积分

原创  韩雪龙  寒冬的角落  2026 年 8 月 9 日 17:00  广东

把分母换成四次方，函数 1/(1+x^4) 是偶函数 f(-x)=f(x) ，图像是一座比高斯钟形更“宽肩”的小山。它在整个实数轴上的面积，是多少？




第一招：对称换元

这个积分没有初等原函数可套，但被积函数有个奇妙的对称性。作换元 x=1/t  ，于是 dx=-dt/t^2 。当 x 从 0 走到 ∞ 时，t 从 ∞ 走回 0 ：



同一个积分 I ，既可以写成原式，也可以写成带 x^2/(1+x^4) 的式子。把两式相加，分母相同的两项凑到一起：



右边这个被积函数 2I 里的 1/(1+x^4) 被换成了 (1+x^2)/(1+x^4) —— 分子凭空多出一个 x^2 。正是这个多出来的 x^2 ，让后面的分解成为可能。



第二招：拆开四次式

x^2/(1+x^4) 的分母是 1+x^4 看起来拆不开。其实它能分解成两个二次式的乘积：



验证很容易：



要让中间项消失，取 a=√2 即可。

有了这个分解，前面那个 (1+x^2)/(1+x^4) 就能一分为二：



检验：两分式相加得 (2x^2+2)/(x^4+1) ，正好是两倍的原式，所以外面要乘 1/2 。代回 2I ：



记 A 为第一项积分、B 为第二项积分，则 I=1/4 (A+B) 。

第三招：配方求积分值

两个分母都是“平方加常数”的形式，配成完全平方就能用反正切积出来。以 A 为例：



于是，积出来 A 得：



同理，积出来 B 是：



两者相加，A+B=π√2 ，于是：



两个钟形，殊途同归

回看被积函数本身。它和高斯 e^(-x^2) 长得很像，都是中间鼓、两边塌的钟形。但来源完全不同：高斯靠指数飞快塌掉，而 1/(1+x^4) 靠四次多项式的分母“压住”尾巴。两条不同的路，最后都给出含 π 的干净数值，这件事本身就挺耐人寻味。


与高斯对比

结果

把三招串起来，答案是：



数值约为 1.11072 。一座宽肩小山，面积刚好是 π/(2√2) 。

累积面积收敛

同样的路数对 1/(1+x^n) 都灵：只要 n>1，结果一定是 π/[nsin(π/n)] 。这一篇只把 n=4 这条路走通，剩下的留给好奇心。

寒冬的角落

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下面是网友 elim 过去在《数学中国》论坛上发表过的一个帖子：