【学数学】神奇的欧拉常数

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【学数学】神奇的欧拉常数

原创  数学工作坊  数学工作坊  2026 年 8 月 10 日 10:00  上海

欧拉常数（Euler's constant）

欧拉常数，通常记为 γ ，也称欧拉-马歇罗尼常数，是数学史上最迷人、也最“神秘”的常数之一。目前计算得出的欧拉常数 γ 的近似值为 0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243……

它虽与 π 和 e 齐名，但直到今天，我们对它的本质仍然知之甚少。它的历史是一部从“发散级数的余项”到“数论与分析的灵魂”，再到“未解之谜”的演变史。

PART 1  相关数学史

早在 14 世纪，奥雷姆就证明了调和级数 1+1/2+1/3+…… 是发散的。但直到 17 世纪，数学家们才开始关心一个更深入的问题：调和级数发散的速度究竟有多快？

莱布尼茨和约翰·伯努利注意到，调和级数的部分和 1+1/2+……+1/n 与自然对数 ln(n) 的增长速率非常接近。他们隐约察觉到，两者之差似乎趋于一个“固定的极限”，但当时并未能精确量化。

1734 年，瑞士数学大师莱昂哈德·欧拉在圣彼得堡科学院提交了一篇题为《关于调和级数的观察》的论文。在论文中，他严格证明了当 n 趋于无穷时，1+1/2+……+1/n 与 ln(n) 的差收敛于一个常数，同时他也给出了这个常数的定义。



1761 年他又将该值计算到了 16 位小数，1790 年，意大利数学家马歇罗尼引入了 γ 作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后 32 位。但后来的计算显示他在第 20 位的时候出现了错误。

19 世纪，随着黎曼函数理论的兴起，欧拉常数的重要性被大幅提升。数学家发现 γ 可以表示为：



它刻画了离散求和与连续积分之间的渐近偏差，因此广泛出现在数学分析与解析数论中。例如，它出现在梅滕斯第三定理描述素数倒数乘积的渐近公式中，也与伽马函数以及黎曼函数之间存在密切联系。

数学家已经推导出大量关于 γ 的积分表示、无穷级数和渐近展开，并将它计算到了极高精度。然而，欧拉常数在数学史上留下了一个最致命的空白：至今无人能够证明 γ 为无理数，它被公认为“人类对最基础常数最无知的一个”。这一结果多少有些反直觉：一个定义只涉及调和级数和自然对数的常数，其最基本的性质却悬而未决。

PART 2  用单调有界准则来证明欧拉常数 γ 的存在性



PART 3  依赖于几何直觉理解 γ 的有界性

我们利用这样一种想法，即用单位宽度的矩形条来比较图下的面积，高度等于函数在该点的值。









此外，我们还可以进一步思考一下问题：能否通过构造合适的平面图形使得 γ 取值范围更精确？





PART 4  用一张面积图，看明白欧拉常数从哪来

为什么 1+1/2+……+1/n 与 ln(n) 之间会卡着这么一个数呢？我们可以尝试去寻找它的几何意义。



曲线 y=1/x ，直线 x=1 ，直线 x=n 与 x 轴正半轴所围成的面积恰好等于 ln(n) ，而如上图所示，从 x=1 到 x=n ，各个矩形的面积之和为 1+1/2+1/3+…+1/n ，因此曲线 y=1/x 上方的各个小三角形的面积之和为 1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n) ，而随着 n 不断地趋于无穷大，这些小三角形的面积之和也会趋向于一个定值，即为欧拉常数。

换句话说，欧拉常数 γ 是用一堆离散的台阶去填一条连续曲线时，永远填不满、也填不完的那一点剩余。

随着 n 不断趋于无穷，台阶越密，缝越小，所有缝加起来，刚好是 0.57721…  。

PART 5  未解之谜

尽管欧拉常数 γ 已经存在了近 300 年，但它仍有许多未解之谜。例如尚未证明 γ 是有理数还是无理数；尚未证明 γ 是超越数还是代数数；尚未找到 γ 与 π 、e 等常数的联系。如果你能解决这些问题，或许下一个菲尔茨奖的获得者就是你！

撰稿｜唐欣伟 张欠如

编辑｜张欠如 唐欣伟

总责｜沈澜 冯芊芊

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