设 a,b,c 是正实数，且 abc=1 ，证明 (a-1+1／b)(b-1+1／c)(c-1+1／a)≤1

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设 a,b,c 是正实数，且 abc=1 ，证明 (a-1+1／b)(b-1+1／c)(c-1+1／a)≤1

原创  散修数学  2026 年 8 月 14 日 13:16  湖南







散修数学

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设 a,b,c 是正实数，且 abc=1 ，证明 (a-1+1／b)(b-1+1／c)(c-1+1／a)≤1.
思路：M=(a-1+1／b)(b-1+1／c)(c-1+1／a)
=(ab-b+1)(bc-c+1)(ca-a+1)=(ab+b-1)(bc+c-1)(ca+a-1)
M^2=[a^2b^2-(b-1)^2][b^2c^2-(c-1)^2][c^2a^2-(a-1)^2]
≤(abc)^4=1, 即M≤1(仅当a=b=c=1时取等).