基本不等式／均值不等式求最值，最大的坑是什么？

波斯猫猫

《数学期刊》基本不等式／均值不等式求最值，最大的坑是什么？
原创  格里高  格里高的数学之旅  2026 年 7 月 27 日 16:55  上海
luyuanhong 发表于 2026-8-20 00:42

原题：x,y∈R+,且x+y=1，求(x+1/x)(y+1/y)的最小值.

思路：由条件，显然有，xy≤1/4，即1/(xy)≥4.

∴ (x+1/x)(y+1/y)=(x^2+1)(y^2+1)/(xy)

=(x^2+1/4+3/4)(y^2+1/4+3/4)/(xy)

≥(x+3/4)(y+3/4)/(xy)=(xy+3/4+9/16)/(xy)

=1+21/(16xy)≥1+4﹡21/16=25/4

(上述各式，仅当x=y=1/2时取等号).

注：巧思巧变巧拆，一路简洁又丝滑.

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的帖子已收藏。

xfhaoym

最通用的方法还是用条件极值。因为出道者不是随便出的。实际应用中都是千欹百怪的。

波斯猫猫

三角代换：令x=(sinθ)^2，y=(cosθ)^2，则
(x+1/x)(y+1/y)=[(sinθ)^4+1][(cosθ)^4+1]/(sinθcosθ)^2
=4[(sinθ)^4+1][(cosθ)^4+1]/(sin2θ)^2
=4[(sinθ)^4(cosθ)^4+(sinθ)^4+(cosθ)^4+1]/(sin2θ)^2
≥4[(sinθ)^4(cosθ)^4+2(sinθ)^2(cosθ)^2+1]/(sin2θ)^2
=4[(sinθ)^2(cosθ)^2+1]^2/(sin2θ)^2
=4[(sin2θ)/4+1/(sin2θ)]^2
=4[(sin2θ)/4+1/(4sin2θ)+1/(4sin2θ)(4个)]^2
≥100[1/(sin2θ)^(3/5)]^2/16≥25/4.
(仅当θ=π/4，即x=y=1/2时取等号).