在 ΔABC 中，a,b,c 是 ∠A,∠B,∠C 对边，b^2=ac，D∈AC，BD=AC，AD=3CD ，求 cos∠B

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luyuanhong

kanyikan

luyuanhong 发表于 2026-8-26 04:17

可以直接使用斯特瓦尔特定理，就省去用余弦定理推了。

王守恩

luyuanhong 发表于 2026-8-26 12:17

有陆老师的图就好做了。

\(解一。\frac{3}{c} =\frac{4}{a} = \frac{c}{4}, \frac{c^2 + a^2 - 4^2}{2*c*a} =\cos∠B\)

\(解二。\frac{3}{c} =\frac{4}{a} = \frac{c}{4}, \frac{3^2 + 4^2 - c^2}{2*3*4} =\cos∠B\)

\(解三。\frac{3}{c}  = \frac{c}{4}, \frac{3^2 + 4^2 - c^2}{2*3*4} =\cos∠B\)

波斯猫猫

借2楼图，由余弦定理，有
cosA=(c^2-7)/(6c)=(c^2-a^2+16)/(8c)，
即3a^2+c^2-76=0.  又b^2=ac=16，
∴ 3a^2+256/a^2-76=0.
解得3a^2=64，或a^2=4(舍去).
∴  c^2=12.  a^2+c^2=100/3.
故cosB=(a^2+c^2-16)/(2ac)
=(100/3-16)/32=13/24

王守恩

luyuanhong 发表于 2026-8-26 12:17

陆老师的图太好了！让人憋住不想都不行！来个绕一点的解法。

\(第1步。S_{△ABC}=\frac{4*4\sin∠ADB}{2}=\frac{a*c\sin∠ABC}{2},可以有∠ADB=∠ABC。可以有△ADB\sim△ABC\)

\(第2步。\frac{S_{△ADB}}{S_{△ACB}} =\frac{3}{4} = \frac{c^2}{4^2}, 可以有 c^2 =12\)

\(第3步。\cos∠ABC=\cos∠ADB=\frac{3^2 + 4^2 - c^2}{2*3*4} =\frac{9 + 16 - 12}{2*3*4} =\frac{13}{24}\)

风花飘飘

王守恩 发表于 2026-8-27 04:56
陆老师的图太好了！让人憋住不想都不行！来个绕一点的解法。

\(第1步。S_{△ABC}=\frac{4*4\sin∠ADB} ...

波斯猫猫

借2楼图，由余弦定理，显然有，

a^2=17+8cosθ，c^2=25-24cosθ  又b^2=ac=16，

∴ (17+8cosθ)(25-24cosθ)=256.

易解得24cosθ=13, 24cosθ=-39(舍去).

∴ a^2=17+8cosθ=17+13/3=64/3，c^2=25-24cosθ=12，

即 a：c：4=8/√3：2√3：4=4：3：2√3.

∴ △CBA∽△BDA，cosB=cosθ=13/24.

注：本打算继续使用余弦定理，可中途变轨.

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的两种解答都已收藏。

王守恩

\(极致解法。\frac{4}{a}=\frac{c}{4}=\frac{3}{c},\frac{4^2-c^2+3^2}{2*4*3}=\frac{16-12+9}{2*4*3}=\frac{13}{24}\)

\(\frac{4}{a}=\frac{c}{4}=\frac{3}{c}。怎么有？去看陆老师的图！\)