设 a＞0，b＞0，a+b=1，证明：√(a^2+1/a)+√(b^2+1/b)≥3.

波斯猫猫

《数学期刊》原创  旅游风景歌伴人生  2026 年 8 月 18 日 20:15  广东

luyuanhong发表于 2026-8-23 00:55

原题：设 a＞0，b＞0，a+b=1，证明：√(a^2+1/a)+√(b^2+1/b)≥3.

思路：∵  a＞0，b＞0，a+b=1，∴ ab≤1/4，即1/(ab)≥4.

由闵可夫斯基不等式，有

√(a^2+1/a)+√(b^2+1/b)≥√[(a+b)^2+(1/√a+1/√b)^2]

=√[1+(1/(ab)+2/√(ab))]≥√[1+4+4]=3.

(仅当a/√b=b/√a，即a=b=1/2时取等号)

luyuanhong

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