已知等腰直角三角形 ΔABC 的三个顶点 A,B,C 在曲线 xy=1 上，求 ΔABC 面积的最小值

dodonaomikiki

西电入学试题B:      xy=1上面有三个点ABC，构成一等腰直角三角形，求其最小面积

感觉是一道比较好的题目

dodonaomikiki

仅供参考~~~或许有更加奥妙便捷的办法解答之！

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

luyuanhong

为什么设 k＞1 ？

其实，符合条件的 ΔABC 可以有多个，但由于位置的对称性，只要考虑其中一个就可以了。

如 A 点的坐标 A(a,1/a) ，a＞0 时，A 在第一象限；a＜0 时， A 在第三象限。

由于对称性，我们只要考虑 A 在第一象限的情形，所以可以设 a＞0 。

又如 AB 边的斜率 k ，k＞1 时，A 在第一象限角平分线的左上方，C 在角平分线的右下方；

0＜k＜1 时，A 在第一象限角平分线的右下方，C 在角平分线的左上方。

由于对称性，我们只要考虑其中一种情形就可以了，所以可以设 k＞1 。

luyuanhong

波斯猫猫

严格地，应分类讨论。
1，当三个顶点在xy=1上的一支时，
2，当三个顶点在xy=1上的两支时，
（1）当直角顶点所在的支仅一个顶点，
（2）当直角顶点所在的支有两个顶点，

考虑设(tanα，cotα)，(tanβ，cotβ)
，(tanγ，cotγ)，会包含上述三种情形，
看样子可能也会减少计算量，但未试。

dodonaomikiki

后面，尾巴部分我感觉用求导法比较省力~~~
至少比较适合水平非常中庸的学生！
不晓得这种方法实际上对不对。

dodonaomikiki

前面很坚硬的计算，
可以参考陆老师的解答~~~


\(

现在来看尾巴部分！                     \\
    \displaystyle{  \boldsymbol      {           S=\frac{  (a^4+1 )^3     }{ (a^4-1)^2   \bullet       a^2    }               }}          \\
    \displaystyle{  \boldsymbol      {          =\frac{  (a^4+1 )^3     }                            {                                 (a^2-\frac{1}{  a^2})^2  \bullet     a^2      \bullet         a^2      \bullet       a^2                   }              }}      \\

     \displaystyle{  \boldsymbol      {           =\frac{      (a^2+\frac{1}{  a^2 }   )^3         }                  {    (a^2-\frac{1}{  a^2 }         )^2        }        }}       \\






我们令：        \displaystyle{  \boldsymbol      {                 t=a^2+\frac{1}{  a^2 }              }}     \\
          \displaystyle{  \boldsymbol      {          \Longrightarrow     S=\frac{   t^3  }{     t^2-4        }         }}         \\

              \displaystyle{  \boldsymbol      {            \Longrightarrow     S'=\frac{  3 t^2  ( t^2-4    )  -  t^3    \bullet        2t          }{     ( t^2-4   )^2       }=\frac{   3 t^4-12       t^2-2  t^4     }{      ( t^2-4   )^2           }             }}     \\
        \displaystyle{  \boldsymbol      {              =\frac{    t^4-12       t^2 }{      ( t^2-4   )^2           }         }}             \\
              \displaystyle{  \boldsymbol      {              当S'=0}}         \\

          \displaystyle{  \boldsymbol      {             \Longrightarrow      t^4-12       t^2=0         }}       \\

       \displaystyle{  \boldsymbol      {                \Longrightarrow     t^2-12=0       }}         \\

       \displaystyle{  \boldsymbol      {                 \Longrightarrow       t=+2\sqrt{3}  (         t=-2\sqrt{3}   必须舍弃之      )       }}         \\


       \displaystyle{  \boldsymbol      {                 \Longrightarrow      S_{min}=\frac{      ( 2\sqrt{3}  ) ^3         }{        ( 2\sqrt{3}  ) ^2-4       }=\frac{   8    \bullet           3\sqrt{3}        }{     4    \bullet       3-4      }=\frac{      24   \sqrt{3}        }{           8     }             }}   \\
         \displaystyle{  \boldsymbol      {               =3\sqrt{3}       }}          \\
   \displaystyle{  \boldsymbol      {               Finn      }}         \\  













...\)