初中数学教科书对“√2不是有理数”的证明违反了一条基本逻辑原则

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初中数学教科书对“√2不是有理数”的证明
违反了一条基本逻辑原则
杨六省
yangls728@163.com
毛主席说：“伤其十指不如断其一指。”
我们无需纠缠于教科书中具体证明细节的对与错，只需从形式上考察：教科书的证明是否违反了一条基本逻辑原则——否定种概念不等于否定属概念。
我们不去考虑教科书关于“p和q都是偶数”的推理是否有效，也不去考虑“√2是最简分数”（即“√2 = p/q（p，q互质）”）这一表述是否有真假、是否有意义，我们仅从形式上讨论问题。“p和q都是偶数”与“√2 = p/q（p，q互质）”中的“p，q互质”相矛盾，因此只能否定“√2是最简分数”，而不能否定“√2是分数”，因为否定种概念（最简分数）不等于否定属概念（分数）。
有人会反驳说：因为任何分数都可以化为最简分数，所以，否定“√2是最简分数”就是否定“√2是分数”。笔者认为，此说法是错误的。理由是：“任何分数都可以化为最简分数”这句话，只针对名副其实的分数形式才有意义；硬把它套用在矛盾式“√2 = p/q（p，q均为整数）”中的“p/q（p，q均为整数）”上，是毫无根据的，因为这里的“p/q（p，q均为整数）”徒有分数之名而无分数之实。
有人会反驳说：反证法不就是应用虚假的反论题进行推理的吗？这里要区分：应用反论题进行推理（反论题不变）与对反论题本身实施推理（反论题会改变）不是一回事——前者是合理的，后者是不合理的。为帮助理解，不妨举一个通俗的例子。如果“张三打过父亲”是事实，那么下面的推理就是合理的：既然张三打过父亲，那么，要么他已经停止打父亲，要么他还在打父亲。但是，如果“张三打过父亲”仅是作为反论题而出现，那么上述推理就是不合理的。不妨只考虑其中的一个判断，例如“张三已经停止打父亲”：假设其为真，说明张三打过父亲；假设其为假，则“张三还在打父亲”为真，还是说明张三打过父亲。总之，无论假设“张三已经停止打父亲”为真还是为假，都会推出反论题“张三打过父亲”为真，这显然是荒谬的。
正是基于上述理由，笔者在《毕达哥拉斯学派是否证明了√2不是有理数？》一文中，才提出了如下论断：对反论题本身不可以实施推理。笔者认为，这一论断应该作为一条新的原则。笔者推测，此前没有人明确地提出过这一论断，更没有人把它提升到“原则”的高度；不然的话，为什么从毕达哥拉斯学派到现今的教科书，2500年来，人们一直在沿用着对“√2不是有理数”的反论题“√2是分数”所实施的推理，即把“√2是分数”替换成“√2是最简分数”？