三次方程的二次根式解（立方倍积尺规作图数理方程）

风花飘飘

我们来利用韦达定理，将图2中给出的三个根式 x_1, x_2, x_3 回代，复原出它们所满足的三次方程。

目标
验证 x_1, x_2, x_3 是方程 8x^3 - 6x + 1 = 0 的三个根。

根据韦达定理，对于三次方程 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其三个根 x_1, x_2, x_3 满足：
1.  根之和： x_1 + x_2 + x_3 = -frac{b}{a}
2.  两两乘积之和： x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = frac{c}{a}
3.  根之积： x_1x_2x_3 = -frac{d}{a}

我们要复原的方程是 8x^3 + 0x^2 - 6x + 1 = 0。这意味着我们需要验证：
*   x_1 + x_2 + x_3 = 0 （因为 b=0）
*   x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = -frac{6}{8} = -frac{3}{4}
*   x_1x_2x_3 = -frac{1}{8}

第一步：计算根之和 (S_1)

S_1 = x_1 + x_2 + x_3
S_1 = frac{(3sqrt{2} - 1)sqrt{sqrt{2} + 1}}{4} + frac{(sqrt{6} + 1)sqrt{sqrt{6} + 2}}{4} + frac{(sqrt{5} - 3)sqrt{sqrt{5} + 1}}{4}

这个直接相加非常困难，我们换个思路。这三个根式其实对应的是三角函数值：
*   x_1 = cos(40^circ)
*   x_2 = cos(80^circ)
*   x_3 = cos(160^circ) = -cos(20^circ)

利用三角恒等式 cos(40^circ) + cos(80^circ) - cos(20^circ)：
cos(40^circ) + cos(80^circ) = 2cos(frac{40+80}{2})cos(frac{40-80}{2}) = 2cos(60^circ)cos(-20^circ)
因为 cos(60^circ) = 0.5，所以：
= 2 times 0.5 times cos(20^circ) = cos(20^circ)
所以：
S_1 = cos(20^circ) - cos(20^circ) = 0

结论： x_1 + x_2 + x_3 = 0。这符合方程中二次项系数为0的特征。

第二步：计算两两乘积之和 (S_2)

S_2 = x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1
同样利用三角形式计算更简单：
S_2 = cos(40^circ)cos(80^circ) + cos(80^circ)cos(160^circ) + cos(160^circ)cos(40^circ)

利用积化和差公式 cos A cos B = frac{1}{2}[cos(A+B) + cos(A-B)]：
1.  cos(40^circ)cos(80^circ) = frac{1}{2}[cos(120^circ) + cos(-40^circ)] = frac{1}{2}[-0.5 + cos(40^circ)]
2.  cos(80^circ)cos(160^circ) = frac{1}{2}[cos(240^circ) + cos(-80^circ)] = frac{1}{2}[-0.5 + cos(80^circ)]
3.  cos(160^circ)cos(40^circ) = frac{1}{2}[cos(200^circ) + cos(120^circ)] = frac{1}{2}[-cos(20^circ) - 0.5]

将三项相加：
S_2 = frac{1}{2} [ -0.5 + cos(40^circ) - 0.5 + cos(80^circ) - cos(20^circ) - 0.5 ]
S_2 = frac{1}{2} [ -1.5 + (cos(40^circ) + cos(80^circ) - cos(20^circ)) ]

我们在第一步已经算出括号里的部分等于0。
S_2 = frac{1}{2} [-1.5] = -0.75 = -frac{3}{4}

结论： x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = -frac{3}{4}。符合方程特征。

第三步：计算根之积 (S_3)

S_3 = x_1x_2x_3 = cos(40^circ)cos(80^circ)cos(160^circ)

利用公式 cos(alpha)cos(2alpha)cos(4alpha) = frac{sin(8alpha)}{8sin(alpha)} 的变体，或者直接计算：
cos(40^circ)cos(80^circ) = frac{1}{4} + frac{1}{2}cos(40^circ)  (由上面推导可知 cos(40)cos(80) = -0.25 + 0.5cos(40))
这里用另一个恒等式更快：cos(20^circ)cos(40^circ)cos(80^circ) = frac{1}{8}。
注意我们的项是 cos(160^circ) = -cos(20^circ)。
所以：
S_3 = - [cos(20^circ)cos(40^circ)cos(80^circ)] = -frac{1}{8}

结论： x_1x_2x_3 = -frac{1}{8}。符合方程特征。

最终复原方程

根据韦达定理逆运算，构造方程 x^3 - S_1x^2 + S_2x - S_3 = 0：
x^3 - (0)x^2 + (-frac{3}{4})x - (-frac{1}{8}) = 0
x^3 - frac{3}{4}x + frac{1}{8} = 0

两边同时乘以 8 以去除分母：
8x^3 - 6x + 1 = 0

证毕。 图2中的三个复杂的二次嵌套根式，确实是方程 8x^3 - 6x + 1 = 0 的精确解。