万字浅谈：为什么五次方程没有求根公式 & 阿贝尔与伽罗瓦的传奇故事

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万字浅谈：为什么五次方程没有求根公式 & 阿贝尔与伽罗瓦的传奇故事

原创  淡化叙数讲理  叙数淡化讲理  2026 年 7 月 21 日 19:21  北京

学过初中数学的朋友一定知道二次方程的求根公式。给定任意一个二次方程（如图），只要把系数代进这个公式，就能算出它的两个根。简单、直接、万能。



到了 16 世纪，意大利数学家又先后找到了三次方程和四次方程的求根公式。三次方程的解由卡尔达诺（Cardano）在 1545 年发表；四次方程的解由他的学生费拉里（Ferrari）发现。虽然这两个公式复杂得多，但毕竟存在。

于是很自然地，人们开始寻找五次方程的求根公式。这一找，就是将近三百年。无数数学家前赴后继，却全都无功而返。直到 19 世纪 20 年代，一个来自挪威的贫穷青年阿贝尔（Niels Henrik Abel）和一个来自法国的叛逆少年伽罗瓦（Evariste Galois），用两种截然不同的方式，终结了这个问题。

阿贝尔证明了：一般五次方程不存在根式解。

伽罗瓦则创造了一套全新的数学语言，并解释了：为什么不存在。



一，阿贝尔：贫穷中走出的天才

1802 年 8 月 5 日，尼尔斯·亨利克·阿贝尔出生在挪威斯塔万格附近芬岛的一个牧师家庭。他是家中七个孩子中的第二个。阿贝尔出生的时候，挪威正处在一个极其艰难的时期。英国对挪威实施了海上封锁，切断了粮食进口，挪威陷入了严重的饥荒和经济危机。阿贝尔就是在这种环境中长大的。

阿贝尔 13 岁之前一直在家由父亲教育。父亲是一位受过哥本哈根大学教育的神学家，也是一位挪威民族主义者。家庭并不幸福——父亲很可能是个酒鬼，家庭经济状况一直非常糟糕。

1815 年，阿贝尔被送到克里斯蒂安尼亚（Christiania，今天的奥斯陆）的主教座堂学校读书。但这所学校当时的情况很糟糕—— 1813 年克里斯蒂安尼亚大学成立后，学校里最好的老师都被调走了。阿贝尔在学校里表现平平。

改变发生在一个悲剧之后。1817 年，学校的一位数学老师把一个学生殴打致死，被立即解雇。接替他的是一个 22 岁的年轻人，名叫伯恩特·米歇尔·霍尔姆伯（Bernt Michael Holmboe） 。

霍尔姆伯几乎立刻就发现了阿贝尔的数学天赋。他开始指导阿贝尔阅读大学水平的数学著作。在霍尔姆伯到来后不到一年，阿贝尔就开始研读欧拉、牛顿、拉格朗日、拉普拉斯等大师的著作。



阿贝尔后来被问到他是如何在数学上进步得如此之快时，他回答说：

通过研究大师，而不是他们的学生。

这句话后来成了数学史上的名言。

1820 年，阿贝尔的父亲去世，年仅 48 岁。父亲的去世让家庭陷入了更深的困境。18 岁的阿贝尔不得不承担起养家的责任。

1821 年秋天，阿贝尔进入了克里斯蒂安尼亚大学。除了数学之外，他的成绩都只是平均水平。但在数学上，他已经超过了挪威的任何一个人。霍尔姆伯已经把自己能教的都教给了他，剩下的全靠阿贝尔自学。他从大学图书馆借阅牛顿、欧拉、拉格朗日和高斯的著作，还有从巴黎来的最新期刊。

大学里没有自然科学方面的学位，阿贝尔没什么可“学”的，他就自己研究。几位教授自己掏钱资助他。他们还经常邀请他到家里吃饭。

1823 年春天，阿贝尔在挪威第一份科学杂志上发表了他的第一篇科学论文。同年夏天，他有了一次机会去哥本哈根，拜访北欧地区最著名的数学家费迪南德·德根。在哥本哈根，他遇到了 19 岁的克里斯汀·肯普（Christine Kemp） ，第二年她来到挪威，两人订婚了。



但阿贝尔真正的野心，是那个困扰了欧洲数学家三百年的问题——五次方程。

1824 年春天，22 岁的阿贝尔做出了一个大胆的决定——自费出版他的证明。他用挪威政府给他的旅行资助金支付了印刷费，把论文用法文写成，压缩到了只有六页的篇幅。

六页。这个长度几乎是致命的。

因为压缩得太厉害，这篇论文几乎无法理解。阿贝尔希望这篇论文能成为他进入欧洲学术圈的“入场券”，但事实上，几乎没有人注意到它。他把这本小册子寄给了欧洲的大数学家们，包括高斯。高斯甚至没有看一眼，就把它当作民科的胡言乱语丢弃了。

1.1 柏林：命运的转折

1825 年春天，经过多方努力，阿贝尔终于获得了挪威政府两年的出国资助。

1825 年 9 月，阿贝尔离开克里斯蒂安尼亚。按照计划，他应该先去哥廷根找高斯，然后去巴黎。但当他到了哥本哈根之后，改变了他的路线——他没有去哥廷根，而是去了柏林。这个决定后来被证明是他短暂生命中最幸运的一件事。

在柏林，阿贝尔遇到了奥古斯特·利奥波德·克雷尔（August Leopold Crelle） 。克雷尔是一位对数学有着浓厚兴趣的工程师，长期梦想在柏林创办一本能与法国老牌期刊竞争的数学杂志。



阿贝尔的出现给了克雷尔勇气去实现这个梦想。1826 年初，克雷尔的《纯粹与应用数学杂志》（Journal für die reine und angewandte Mathematik）——后来被称为“克雷尔杂志”——出版了第一期。第一期上就有七篇阿贝尔的论文。这七篇论文中，最重要的一篇是阿贝尔关于五次方程不可解的证明的扩展版本。在柏林版中，阿贝尔把证明写得更加清晰和完整。

克雷尔杂志因为阿贝尔的论文迅速成为欧洲最顶尖的数学期刊之一。至今这本杂志仍在出版

1.2 巴黎：梦想与幻灭

1826 年 2 月中旬，阿贝尔离开了柏林。他和几个挪威同学一起向南旅行，经过弗赖贝格、德累斯顿、布拉格、维也纳、威尼斯、因斯布鲁克、巴塞尔，还登上了瑞士的里吉山。直到 1826 年 7 月，阿贝尔才终于到达巴黎——离开挪威已经十个月了。

阿贝尔在给朋友的信中写道：“我终于到达了我所有数学希望的焦点。”他解释自己为什么绕了这么一大圈时说：“我想看看欧洲的一些地方的愿望很强烈，我们难道应该把旅行仅限于严格的学术研究吗？”



在巴黎，阿贝尔把他在柏林时就在构思的、关于椭圆函数的重要成果写成了一篇长篇论文——《关于非常广泛的一类超越函数的一般性质的论文》。他把它提交给了法国科学院。

这篇论文后来被后人誉为数学史上的里程碑。但当时，负责评审的是奥古斯丁-路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy）。柯西把阿贝尔的手稿带回家，然后——忘记把它放在哪里了。直到阿贝尔去世之后，1952 年才在佛罗伦萨的莫雷尼亚纳图书馆被重新找到（而且有八页直到 2002 年才被发现）。

你可以想象阿贝尔当时的感受。他把自己最好的工作——他认为最有希望赢得法国科学院认可的工作——交给了巴黎最著名的数学家。然后什么回应都没有得到。手稿就这么消失了。

在巴黎，阿贝尔还见到了狄利克雷和柯西等人。但这些顶尖的数学家似乎没有认出阿贝尔是他们中的一员。阿贝尔太过害羞和谦虚，无法为自己争取应得的关注。

更糟的是，阿贝尔的钱快花光了。1826 年底，他离开了巴黎。

1.3 回到挪威：最后的圣诞节

1827 年，阿贝尔回到了挪威。他身无分文，还欠着一屁股债，没有工作，没有任何前景。在柏林，克雷尔曾经努力为阿贝尔争取一个教授职位，但柏林的职位迟迟没有来。阿贝尔只能回到克里斯蒂安尼亚，做一些临时的家教和大学代课工作勉强度日。

1828 年秋天，阿贝尔的健康状况急剧恶化。同年的圣诞节前后，阿贝尔乘坐雪橇前往弗罗兰（Froland），去看望他的未婚妻克里斯汀·肯普。在旅途中，他的病情急剧恶化。在等待返回奥斯陆的雪橇时，阿贝尔剧烈咳血——医生诊断他患的是肺结核，要求他长期卧床休息



1829 年 4 月 6 日，在弗罗兰的一个富有的实业家的家里，阿贝尔去世了。他只有 26 岁。

阿贝尔去世两天后，克雷尔的信送到了挪威。信中告诉他，柏林大学已经为他提供了一个教授职位。两天... ... 就差两天。 阿贝尔死后，人们逐渐意识到他的工作的重要性，1830 年——阿贝尔去世一年后——法国科学院将数学大奖追授给了阿贝尔。2002 年，挪威政府设立阿贝尔奖，表彰数学方面的突出贡献。



二，伽罗瓦：叛逆的天才

就在阿贝尔在巴黎四处碰壁的 1826 年，一个 15 岁的法国少年正在巴黎的路易学校（Lycée Louis-le-Grand）里读书。他叫埃瓦里斯特·伽罗瓦（Evariste Galois） 。

1811 年 10 月 25 日，伽罗瓦出生在巴黎南郊的布尔-拉-雷讷镇。他的父亲尼古拉-加布里埃尔·伽罗瓦是一个坚定的共和派，是当地的镇长。他的母亲精通拉丁语和古典文学。



伽罗瓦 12 岁之前一直由母亲在家教育。1823 年 10 月，12 岁的伽罗瓦进入巴黎著名的路易-勒-格朗皇家中学。这所学校以体罚和严厉管教学生而臭名昭著。

在这样的环境里，伽罗瓦一开始的学业并不突出。1826 年，因为修辞学成绩不达标，他被要求留级一年。

转折发生在 1827 年。16 岁的伽罗瓦第一次进入了数学课堂。一旦接触到数学，伽罗瓦就像换了个人。他的导师在报告里写道：“对数学的热情支配了他，我认为最好让他的父母允许他只学这个，他在这里是在浪费时间，除了折磨他的老师、让自己受尽惩罚之外什么也没做。”

伽罗瓦根本不在乎学校教的那点东西。他开始直接读大师们的原著——勒让德的《几何原理》只用两天就读完了。然后他读了拉格朗日的著作。他后来的老师理查德（Louis Richard）评价说：“这个学生只在数学的最高领域里工作。”



2.1 接连的打击

1828 年，17 岁的伽罗瓦第一次报考巴黎综合理工学校（Ecole Polytechnique）。这是巴黎最顶尖的大学，也是他父亲的心愿——不仅是出于学术原因，还因为这所学校的学生中有强大的政治运动。但他失败了。



悲剧接踵而来。

第二年，1829 年 7 月 2 日，伽罗瓦的父亲自杀身亡。布尔-拉-雷讷镇的牧师伪造了镇长的签名，写了一些恶毒的讽刺短文，攻击伽罗瓦自己的亲戚。伽罗瓦的父亲是个善良的人，这场丑闻超出了他的承受能力。他在巴黎的公寓里上吊自杀了——那栋公寓离伽罗瓦读书的路易-勒-格朗中学只有几步之遥。

几个星期后，伽罗瓦第二次参加巴黎综合理工学校的入学考试。关于这次考试，有一个流传很广的传说：考官问了一个伽罗瓦认为太简单的问题，他气得把黑板擦扔向了考官。这个故事的真实性无法证实——但结果是确定的：他又一次失败了。

失败的原因可能很复杂：父亲刚去世，他状态极差；他从来就不擅长向别人解释自己那些深奥的数学思想。伽罗瓦放弃了综合理工，进入了巴黎高等师范学院。

2.2 接连的失败

1828 年，17 岁的伽罗瓦写了一篇关于方程理论的论文，交给了法国科学院。负责审查的是柯西。柯西不仅认真阅读了伽罗瓦的手稿，还意识到了其重要性。5 月 25 日和 6 月 1 日，他又向法国科学院提交了两篇关于方程代数解的文章。柯西建议伽罗瓦将研究成果整合成一篇更完整的论文，去竞争科学院的大奖。



之后，伽罗瓦继续向柯西提交关于方程理论的进一步工作。然后他从《费吕萨克通报》上得知，阿贝尔去世后发表的一篇文章与他的部分工作有重叠。这让他更加紧迫。他听从柯西的建议，在 1830 年 2 月提交了一篇新文章《论方程可用根式求解的条件》。这篇论文提交给了科学院秘书傅里叶。不幸的是，傅里叶在 1830 年 5 月去世，这篇论文在他的遗物中不知所踪。

但他没有放弃。1831 年 1 月 17 日，他又提交了一篇论文——这次是给泊松 。几个月后，泊松的回复是：“无法理解” 。泊松写道：“他的论证既不够清晰，也不够充分发展，无法让我们判断其严谨性。”但他还是给出了一点希望：“我们建议作者发表他的全部作品，以便形成一个确定的意见。”

三次投稿，三次失败。虽然伽罗瓦还没有放弃，但是更重要的工作占据了他的时间。

2.3 革命

1830 年 7 月，法国爆发了七月革命。国王查理十世试图解散议会、压制新闻自由，引发了巴黎市民的大规模起义。当时伽罗瓦正在高等师范学院读书。综合理工学校的学生们冲上街头参与革命。但高等师范学院的院长把学生们锁在了学校里。伽罗瓦愤怒了。他写了一封措辞激烈的信批评院长，随后便被开除了。

被开除后，伽罗瓦加入了国民卫队中坚定共和派的炮兵部队。他在数学和政治之间分配时间。



1831 年 5 月 9 日，一场为共和派军官举办的宴会上，伽罗瓦站起来——手持一把匕首——举杯祝酒：“致路易·菲利普！ ”共和派们把这解读为对国王的死亡威胁，一片欢呼。第二天，伽罗瓦被逮捕。6 月 15 日他受审——陪审团被他的年轻打动了，他被无罪释放。

但麻烦远没有结束。7 月 14 日——巴士底日——伽罗瓦穿着已被禁止的国民卫队制服，全副武装参加了示威游行。他再次被逮捕。10 月受审，他被判有罪。伽罗瓦在圣佩拉吉监狱（Sainte-Pelagie Prison） 度过了接下来几个月。

2.4 “我没有时间了”

1832 年 3 月，伽罗瓦被释放。随后 5 月份被卷入一场情感纠纷中，也有人说是一个政治圈套。

1832 年 5 月 29 日傍晚，伽罗瓦写下了三封信。他将在第二天早上进行一场手枪决斗。

第一封信写给所有共和派同志，第二封信只写给两个首字母“N.L.”。

第三封信写给他的朋友奥古斯特·舍瓦利耶（Auguste Chevalier） 。这封信是关于数学的。伽罗瓦在页边不停地写，仿佛在与时间赛跑。



传说中他在页边标注了那句著名的话：“我没有时间了。”信的结尾他写道：“我没有足够的时间，而且我的想法在这个巨大的领域中还没有得到充分的发展。” 德国数学家赫尔曼·外尔后来评价这封信：

这封信，如果按照它所包含的思想的新颖性和深刻性来判断，也许是整个人类文献中最有分量的文字。

1832 年 5 月 30 日清晨，在 25 步的距离上，伽罗瓦腹部中弹。他没有立即死去。有人把他送到了科钦医院。伽罗瓦的弟弟阿尔弗雷德听到消息后冲到他的身边。阿尔弗雷德听到的最后一句话是：“别哭。我需要我所有的勇气才能在二十岁死去。”

1832 年 5 月 31 日上午 10 点，伽罗瓦因腹膜炎去世。他只有 20 岁。

伽罗瓦的全部数学著作——包括他在决斗前夜写下的那些潦草笔记——加起来只有大约 60 页。

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三，阿贝尔的证明：五次方程“不能”被根式解

在深入了解阿贝尔的证明之前，我们需要先搞清楚一个问题：什么叫“有根式解”？所谓根式解，就是要求一个公式，这个公式只允许使用以下五种运算：

加、减、乘、除、开方 （其中开方可以是开任意次方，且这个运算有些特殊，稍后会讲）

二次方程的求根公式就是这样一个公式——你把系数 a,b,c 代进去，经过几次加减乘除和开平方，就能得到 x 的值。三次、四次方程也有这样的公式。

阿贝尔证明的是：对于一般形式的五次方程，这样的公式不存在。

那他是怎么证明的呢？下面我用五步来拆解他的思路。

3.1 先假设它存在

阿贝尔用的是一种非常经典的数学证明策略——反证法。他先假设：一般五次方程确实有一个根式解公式。也就是说，方程的根 x 可以写成系数 a,b,c,d,e 经过有限次加减乘除和开方得到的某个表达式。这个表达式可能长得吓人——可能包含多层嵌套的根号，比如下图：



但不管它多复杂，它的本质是固定的：从系数出发，一步一步地做加减乘除和开方（开任意次方），最终得到根。

3.2 把“根式公式”拆开来看

阿贝尔接下来做了一件事：他仔细分析了任何一个根式表达式的结构。他发现，不管一个根式表达式有多复杂，它都有一个共同的特点——它是一层一层“搭”出来的。打个比方。假设你从系数 a,b,c,d,e 出发：

第一步：你可以对它们做加减乘除，得到一些新的数；

第二步：你可以对这些新的数开平方或开立方，得到更多新的数；

第三步：你又可以对新的数做加减乘除或开方……如此继续，直到最后得到方程的根 x。

关键在于：每当你做一次“开方”操作，你就在数学上引入了一种新的“对称性”。

3.3 什么叫“对称性”？——用一个简单的例子

“对称性”这个词听起来很抽象，但我们用一个具体的例子就能看明白。考虑一个最简单的二次方程和它的两个根：



现在我问你一个问题：你能不能用只包含有理数和加减乘除开方的表达式，把 它们区分开？

答案是：不能。

为什么？因为这两个数在代数上是“孪生兄弟”。



这就是阿贝尔说的对称性——把两个根互换，整个代数表达式纹丝不动。就像镜子两边的影像，在代数的世界里无法区分。对于一般的二次方程，它的两个根只有一种对称操作：交换它们（或者不交换）。只有两种可能性。

对于三次方程，三个根之间有 3!=6 种可能的排列方式；

对于四次方程，有 4!=24 种。

3.4 关键发现

阿贝尔发现了一个至关重要的事实：每当你进行一步“开方”操作，你能够拥有的对称性就会受到限制。在没开方之前，我们只有有理数（比如 0, 1, 2）。根都是有理数的世界里，当你执行“开平方”这个操作时，你强行把两个正负根号 2 ，同时揪了出来。开方操作有一个铁律：它必须成对出现。你不可能只得到一个正数（0 除外）。



关键的逻辑来了：

因为开方必须“成对”产生新数，所以这两个新数之间就被迫绑定了一种关系——在数学上，这种关系叫做“共轭”。阿贝尔所谓的“限制”，指的就是这种“绑定”关系。如果没有开方，五个根之间可以任意乱窜（120 种自由排列）。但你每开一次方，就得像用绳子把某些根“拴”在一起。被拴住的根，就不能随意乱窜了，只能成对地（或成组地）整体移动。

我们可以把方程的解想象成一组“积木块”。

没有任何限制时：这 5 块积木（五个根）是绝对自由的，你可以把它们以 5!=120 种方式任意摆放。这就是五次方程原本拥有的巨大对称性。

当进行“加减乘除”时：这只是把积木重新拼凑，不会改变积木的“形状”，所以对称性不受影响。

当进行“开方”时：情况变了。开方相当于你要把几块积木用强力胶水粘在一起，形成一个特定的“小组件”。

这个“强力胶水”的致命弱点：不管你用的是开平方、开立方还是开五次方，这种“胶水”粘出来的“小组件”都只能是一种非常简单的模式（循环模式）。比如，要么是两块积木互换（2 次循环），要么是三块积木轮流转（3 次循环）。

只要你使用“开方”这种工具，你所粘出来的“小组件”永远只能是这种简单模式。关键的结论是：我们永远无法用这种简单的小组件，拼凑出那 120 种完全自由的排列状态。因为五次方程要求的 120 种对称性里，含有一种极其复杂的“非循环”结构，这种结构无法用这些简单的“胶水组件”粘出来。

所以，阿贝尔说：开方操作产生的对称性，受到了“只能形成循环组件”的限制。用更通俗的话说：五次方程的根的对称性太复杂了，复杂到任何只靠开方和四则运算的公式都无法捕捉它。

阿贝尔的证明是伟大的，但它有一个重要的局限。他证明了：一般的五次方程没有根式解。但他没有给出一个方法来判断：给定一个具体的五次方程，它到底能不能用根式解？

这个更精细的标准，后来由伽罗瓦给出了。

四，伽罗瓦的洞察：用“对称群”来理解一切

伽罗瓦的回答方式非常特别——他没有沿着阿贝尔的路继续走，而是换了一个全新的角度。他把问题从“怎么计算”变成了“研究结构”。用一句话概括他的核心思想：

把解方程的问题，转化成研究“对称群”结构的问题。

这个想法在当时是石破天惊的。

4.1 从“解方程”到“看对称性”

我们先回顾一下阿贝尔发现的“对称性”这个概念。对于二次方程它的两个根 是可以互换的——互换之后，所有代数表达式不变。这种互换就是一种“对称操作”。对于三次方程，三个根可以任意排列，有 3!=6 种互换方式。对于四次方程，有 4!=24 种。



伽罗瓦的问题是：这些“互换方式”本身，能不能构成一个有意义的整体？

答案是：能。

这些互换方式放在一起，构成了一个群——现在叫做对称群。

“群”是什么？

你可以把它理解为一组操作的集合，这些操作之间可以按照一定规则组合在一起。比如“把根 1 和根 2 互换”是一个操作，“把根 2 和根 3 互换”是另一个操作。你先做一个、再做另一个，会得到一个新的操作。把这些操作全部放在一起，形成一个整体，就叫一个“群”。

对于一般的五次方程，五个根之间的所有互换方式共有：5!=120 种。这 120 种操作构成了一个群。

4.2 二次方程和三次方程的可解

伽罗瓦定义了一个概念叫做“可解群”（solvable group）。一个群是“可解的”，如果它可以被一步步“拆解”成一系列非常简单的部分——每个部分都像二次方程的对称群那样简单。“简单” = 操作顺序无所谓。伽罗瓦证明了：

一个方程能用根式解，当且仅当它的对称群是“可解群”。

这个定理的美妙之处在于：它把“解方程”这个看起来完全是计算的问题，转化成了“研究群的结构”这个抽象的、但更清晰的问题。

为了对比，让我们看看低次方程的情况。

二次方程，假设有两个根，我叫它们 ①、② 。群是 S2 ，只有 2 个元素，因此它只有两个动作：

● 不动：保持两个根不变， ①② → ①②

● 交换：把两个根互换，①② → ②①

这 2 个动作的特点是：顺序无所谓。比如下列的操作结果是一样的。

先做“交换”再做“不动”： ①② → ②①→ ②①

先做“不动”再做“交换”： ①② → ①② →②①

无论你怎么组合，结果都一样。数学上把这种“顺序无所谓的群”叫做可解群。二次方程的对称群 S2 满足顺序无所谓，所以是可解群。

三次方程的对称群是 S3 ，有 6 个元素——它也可以被拆解成简单的步骤。我们来看一下怎么拆解。假设三次方程有三个根，我叫它们

①、②、③。我可以打乱它们的顺序，所有可能的打乱方式一共有 6 种：

● 不动：①②③ → ①②③

● 循环轮换：①②③ → ②③①（往左挪一位）

● 反向轮换：①②③ → ③①②（往右挪一位）

● 交换 ① 和 ② ：①②③ → ②①③

● 交换 ① 和 ③ ：①②③ → ③②①

● 交换 ② 和 ③ ：①②③ → ①③②

这 6 个动作就是 S3 。我们把 6 个动作分成两堆：

温和：3个旋转动作 （不动，循环轮换，反向轮换）

粗暴：3个交换动作（交换 ① 和 ② ，交换 ① 和 ③ ，交换 ② 和 ③ ）

这两堆之间遵循什么规则？

温和 + 粗暴 = 粗暴+温和 ，

比如： 循环轮换 + 交换 ① 和 ② = 交换 ① 和 ② + 循环轮换

在这个层面，我们只关心“这堆是温和还是粗暴”，不关心具体是哪个动作。所以，第一步拆下来的，本质上和二次方程的 S2 一模一样——只有 2 种状态，顺序无所谓。

我们先看一下温和部分

不动 +循环轮换 = 循环轮换 + 不动

循环轮换 +反向轮换 = 不动 = 循环轮换 +反向轮换

不动 + 反向轮换 = 反向轮换 + 不动

基于上述的操作，也可以看出顺序无所谓。所以 S3 同样是可解群。

同理：现在我们把“粗暴堆”单独拎出来看。它有3个动作：

交换 ① 和 ② ：①②③ → ②①③

交换 ① 和 ③ ：①②③ → ③②①

交换 ② 和 ③ ：①②③ → ①③②

这 3 个动作之间是什么关系？

交换 ① 和 ② + 交换 ① 和 ③ = 交换 ① 和 ③ + 交换 ① 和 ② = ②③①

交换 ① 和 ② + 交换 ② 和 ③ = 交换 ② 和 ③ + 交换 ① 和 ② = ③①②

交换 ① 和 ③ + 交换 ② 和 ③ = 交换 ② 和 ③ + 交换 ① 和 ③ = ②③①

基于上述的操作，可以看出顺序无所谓。所以 S3 同样是可解群

因此三次方程有求根公式。

4.3 五次方程的问题

对于五次方程，它有 5 个根，总共 120 种打乱方式。伽罗瓦发现，当你试着去“分组打包”的时候，遇到了一个问题：拆到某一步，你遇到了一个叫 A5 的团伙，里面有 60 个动作。其中有两个特殊

● 三连环：三个数循环转一圈，①→② , ②→③ , ③→① ，④ 和 ⑤ 不动。也就是 ①②③④⑤ → ②③①④⑤ 。

● 五连环：五个数循环转一圈，①→② , ②→③ , ③→④ , ④→⑤ , ⑤→① 。也就是：①②③④⑤ → ②③④⑤①

问题出在“三连环”和“五连环”是死死焊在一起的。

比如： 一个三连环 A（①→②→③）和一个三连环 C（③→④→⑤）。

把它们组合在一起（先 A 后 C），就得到了一个五连环。不可能把“三连环”单独圈出来组成一个更小的团伙。因为只要你把两个不同的三连环放在一起，它们组合起来，就会产生一个五连环。而一旦产生了五连环，五连环又可以通过类似的方式产生更多的三连环……最终，三连环和五连环会像“双胞胎一样互相纠缠”，形成一个无法分割的整体。

这就是为什么二次、三次、四次方程有求根公式，而五次方程没有的根本原因。

五，尾声

阿贝尔和伽罗瓦有许多相似之处。

英年早逝：阿贝尔 26 岁死于贫困和疾病；伽罗瓦 20 岁死于决斗。两人的生命加起来还不到 50 年。

工作都被同时代的大数学家忽视了：阿贝尔的论文被柯西弄丢，被高斯无视；伽罗瓦的论文被傅里叶遗忘、被泊松退回。

价值都是在死后才被承认的：阿贝尔在 1830 年——他去世一年后——被追授法国科学院大奖；伽罗瓦的手稿直到 1846 年才由刘维尔整理发表。



今天，阿贝尔的名字以各种方式留在数学中：阿贝尔求和公式、阿贝尔积分、阿贝尔簇，以及 2002 年挪威政府设立的阿贝尔奖。“阿贝尔群”这个词出现在每一本抽象代数教科书中——尽管阿贝尔本人从未听说过“群”这个词。

伽罗瓦的名字则冠名于他所创立的整个理论——伽罗瓦理论——这已经成为现代数学不可或缺的基础。伽罗瓦在生命的最后一夜写下了人类思想史上最深奥的文字之一。那些文字要等十几年后才被读懂，要等几十年后才被承认，要等一百多年后才成为每一个数学系学生的必修课。

阿贝尔和伽罗瓦用短暂的生命，改变了人类对世界的认知。

而五次方程没有求根公式这件事，恰恰是数学哲理的一种体现：有些问题的答案，不是简单的“有”或“没有”，而是一个更深刻的问题——“为什么”。

六，参考文献

1. Rice, A. “200 Years Ago: Abel's Resolution of the Quintic Question.” Notices of the American Mathematical Society, 2026.
2.“Abel–Ruffini theorem.” Wikipedia.
3.“Niels Henrik Abel.” Abel Prize Official Website.
4.“Niels Henrik Abel.” MacTutor History of Mathematics Archive.
5.“Evariste Galois.” Wikipedia.
6.“Evariste Galois.” MacTutor History of Mathematics Archive.
7. Gardner, B. “The Bicentennial of Evariste Galois.” East Tennessee State University.

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