拉马努金恒等式的有限截断通式

朱明君

拉马努金恒等式的有限截断通式

定理：对任意正整数 n，令 n_1=1，n_2=2，...，n_n=n，则

3 = sqrt(1 + (n_1+1) sqrt(1 + (n_2+1) sqrt(1 + ... sqrt(1 + (n_n+1)(n_n+3)) ... )))

即展开为：

3 = sqrt(1 + 2 sqrt(1 + 3 sqrt(1 + ... + n sqrt(1 + (n+1)(n+3)) ... )))

证明：由内向外逐层消解。

最内层：

(n_n+1)(n_n+3)+1 = (n+1)(n+3)+1 = n^2+4n+4 = (n+2)^2

开方得 n+2。

代入外层：

n(n+2)+1 = n^2+2n+1 = (n+1)^2

开方得 n+1。

再代入外层：

(n-1)(n+1)+1 = n^2

开方得 n。

依此类推，逐层向外，依次得到 n+2，n+1，n，...，4，3。

最后最外层为：

sqrt(1 + 2*3) = sqrt(9) = 3。

因此恒等式成立。

验证：

n=1：

sqrt(1 + (1+1)(1+3)) = sqrt(1+2*4) = sqrt(9) = 3

n=2：

sqrt(1 + 2 sqrt(1 + 3*5)) = sqrt(1 + 2 sqrt(16)) = sqrt(1+8) = 3

n=3：

sqrt(1 + 2 sqrt(1 + 3 sqrt(1 + 46))) = sqrt(1 + 2 sqrt(1 + 3 sqrt(25))) = sqrt(1 + 2 sqrt(1+15)) = sqrt(1 + 24) = 3

所以该有限截断通式正确。