佩尔方程的一类无限可构造解

朱明君

佩尔方程的一类无限可构造解

定理：设 m 为正整数，令 d = m(m+1)，则

d · 2^2 + 1 = 4m(m+1) + 1 = (2m+1)^2。

即 x = 2，y = 2m+1 是佩尔方程

d x^2 + 1 = y^2

的一组特解。

当 m = 1,2,3,... 时，可得到无限多组这样的构造。

验证：

m=1，d=1×2=2，2×2^2+1=9=3^2，x=2，y=3。

m=2，d=2×3=6，6×2^2+1=25=5^2，x=2，y=5。

m=3，d=3×4=12，12×2^2+1=49=7^2，x=2，y=7。

注：当 m 变化时，d = m(m+1) 也变化。因此这里得到的是无限多个不同佩尔方程各自的一组特解，而不是同一个佩尔方程的无限多组解。