正实数x,y满足x+2y=1, 求(3x^2+2y^2+x+y)/(xy)的最小值.

波斯猫猫

《数学期刊》一道经典条件最值题背后的数学思维之美
原创 刘老师 高中数学解题方法与技巧2026年9月27日00:05宁夏

luyuanhong发表于 2026-10-6 00:29

原题: 正实数x,y满足x+2y=1, 求(3x^2+2y^2+x+y)/(xy)的最小值.

(1)配方法：

(3x^2+2y^2+x+y)/(xy)=[3x^2+2y^2+(x+y)(x+2y)]/(xy)

=[4(x-y)^2+11xy]/(xy)≥11xy/(xy)=11.  (通法道力)

(2)均值定理：

(3x^2+2y^2+x+y)/(xy)=[3x^2+2y^2+(x+y)(x+2y)]/(xy)

(4x^2+4y^2+3xy)/(xy)≥(8xy+3xy)/(xy)=11.  (干净利落)

风花飘飘

11

liangchuxu

直接计算，最后用均值不等式。