调和分析四大猜想被 AI“解决”？数学的未来在何方？

luyuanhong

调和分析四大猜想被 AI“解决”？数学的未来在何方？

原创  数学小谈  数学小谈  2026 年 10 月 7 日 10:52  江苏



上午看到这个消息，还是相当震撼。

2026 年 10 月 6 日，OpenAI 公开了一大批由其内部前沿模型生成的数学研究成果。目前公开的数学仓库中，共有 722 份研究手稿，归为 372 组相关结果，涉及数学的多个领域，其中不少针对长期未解决的公开问题。OpenAI 同时公布了部分 Lean 形式化证明，并表示后续还会继续补充形式化结果。

对于做调和分析的人来说，打开目录之后看到的一串名字尤其震撼：

Kakeya 、Fourier restriction 、Bochner–Riesz 、local smoothing ……

此外，还有多线性调和分析中著名的三线性 Hilbert 变换。

这些都是我们在论文、专著和学术报告里反复见到的名字，其中不少问题已经研究了几十年。

现在公开的是 AI 生成的证明手稿，并不意味着这些猜想已经被数学界正式确认解决。

这也是本文标题中“解决”两个字加引号的原因。



一、调和分析几个最著名的问题，都出现了 AI 证明手稿

Kakeya 、Fourier restriction 、Bochner–Riesz 和 local smoothing ，是现代调和分析中彼此联系非常紧密的几个核心问题。有时在非正式讨论中也会把它们概括为调和分析的几个“大猜想”。

需要说明的是，每个猜想都有不同维数、不同指数和不同版本，所以不能简单理解成“所有情形全部解决”。

但 OpenAI 这一次公布的目录中，确实出现了它们若干关键版本的候选证明。

1. Kakeya

Kakeya 问题研究一个非常简单而又非常深刻的问题：如果一个集合包含每个方向上的单位线段，这个集合究竟可以有多“小”？

它表面上是几何问题，却和 Fourier restriction 、振荡积分以及很多调和分析问题紧密相关。

这里要特别说明一个背景：三维 Kakeya 集合具有满 Hausdorff 维数和 Minkowski 维数，王虹（Hong Wang）和 Joshua Zahl 已经在 2025 年的工作中给出了证明。

而 OpenAI 这次公布的是另外两个非常重要的结果：三维 Kakeya 极大猜想，以及四维 Kakeya 集合的 Hausdorff 维数猜想。

三维极大猜想的准确表述是：半径为 δ 的管子极大算子把 L^3(R^3) 映到 L^3(S^2) ，对任意 ε＞0 ，算子范数为 Oε(δ^-ε) 。

四维手稿则宣称证明：任何包含所有方向单位线段的四维 Kakeya 集合，其 Hausdorff 维数都是 4 。

2. 三维 Bochner–Riesz 猜想



3. Fourier Restriction 猜想



4. 三维 Local Smoothing 猜想

Local smoothing 是调和分析与偏微分方程交界处的经典问题。

OpenAI 此次公布的手稿宣称解决了三维欧氏波动方程的 Sogge local smoothing 猜想。



二、还有很多调和分析的重要问题：如三线性 Hilbert 变换等



三、有证明手稿，不等于数学界已经确认

这是目前最重要的一点。

722 份手稿并不等于已经由数学界确认的。

OpenAI 自己也明确说，这次公开的是内部前沿模型产生的一批数学结果，其中很多证明已经或者正在进行 Lean 形式化，但并非所有结果都已经形式化。

数学证明尤其如此。

一个几十页甚至上百页的证明，只要其中一个关键引理存在不可修复的漏洞，整个结论就可能受到影响。

因此对于这些长期公开问题，更合理的态度还是：

先看，先读，先检查。

OpenAI 此前还与独立的数学与人工智能顾问组织 AGMAI 进行了沟通。AGMAI 在 10 月 6 日发表的声明中特别强调，他们的顾问角色不能理解为对这些数学结果的认可或背书；将结果公开只是第一步，接下来需要整个数学共同体去理解、评估，并把真正成立的工作逐渐纳入数学知识体系。

所以现在最准确的一句话应该是：

AI 一次性向数学界交出了数百份前沿问题的候选证明。

仅仅这一件事，已经足够震撼。

四、陶哲轩说的 "Proof Indigestion"，似乎真的来了

看到这 722 份手稿，我首先想到的是陶哲轩今年在讨论 AI 与数学时反复提出的一个说法：proof indigestion—— 证明消化不良。

陶哲轩在今年 ICM 报告以及随后整理的文章中，把数学成果大致区分为几个阶段：产生证明、验证证明、解释和表达、经过共同体接受，最后进入一个领域的标准知识体系。

过去我们长期生活在一个 proof scarcity—— 证明稀缺的时代。

最困难的事情往往是：能不能把这个问题证明出来？

但如果 AI 能够非常快速地生成研究级证明，而形式化工具又越来越能够协助验证，那么瓶颈就会向后移动。

我们可能进入一个 proof abundance—— 证明丰富甚至过剩的时代。

这时真正稀缺的反而变成：

谁来读？谁来判断？谁来解释？谁来发现其中真正的新思想？谁把这些结果和已有理论联系起来？谁最后把它们变成下一代数学家真正能够学习和使用的数学？

这正是陶哲轩所说的“proof indigestion”。

以前听这个词，还多少有一点未来学的味道。

但现在，一次性把 722 份研究手稿放到数学共同体面前，这幅图景突然变得非常具体。

不是没有证明，而是证明多到来不及理解。

五、那以后“写论文”还重要吗？

这可能是这次事件之后，一个很现实的问题。

我觉得：论文仍然重要，但是论文的意义可能正在发生变化。

过去，一位数学家独立完成一篇专业论文，本身往往隐含着很多信息。

他必须阅读这个领域的文献；掌握相关工具；知道哪些地方困难；知道为什么采用某种方法；能够完成证明；最后还要把这些东西写成别人可以理解的形式。

所以过去我们看到一篇好的研究论文时，通常也默认：作者大体上理解这个问题，而且已经进入了这个研究方向。

论文不仅是一个结果，同时还是作者数学能力和专业训练的一种证明。

但 AI 正在逐渐打破这种对应关系。

未来完全可能出现这样的情况：一个人能够生成一篇形式完整、定理正确甚至通过形式化验证的论文，但他本人并没有真正理解其中最核心的数学。

这时，“有一篇论文”和“懂这个数学”就不再是同一件事情了。

实际上，最近数学界关于 AI 的讨论已经非常明确地触及这一问题：过去深定理之所以能够成为“深刻思考”的一种有效指标，是因为得到这样的定理本身就极其困难；如果 AI 显著降低了生成复杂证明的成本，那么单纯的“定理产出”就不再像过去那样能够可靠代表人的数学理解。

因此，我觉得未来论文并不会消失。

我们仍然需要论文。因为数学仍然需要准确记录结果、证明、来源以及与已有工作的关系。

但一篇论文更应该是：数学知识的组织和交流载体，而不一定还能像以前一样，自然而然成为作者数学水平的充分证明。

六、学数学依然、甚至更加重要

如果 AI 越来越会证明定理，那么是不是以后就不用学那么多数学了？

我觉得越是能够大量生成数学，人类越需要真正懂数学的人。

因为总要有人判断：

这个结果到底重要不重要？这个证明真正的新东西在哪里？它用了什么新思想？为什么这个新方法有效？能不能推广？有没有更简单的证明？它和另外一个方向有没有联系？它是否值得成为一个新的理论？它应该如何进入教材？下一步应该问什么问题？

这些都不是简单地得到一串正确公式就结束了。

甚至可以说，未来一个数学家的价值，可能越来越体现在：他到底理解了多少数学。而不是：他到底生产了多少篇论文。

这并不是说证明不重要、论文不重要。反而，我觉得数学是无穷的，数学的问题也是无穷的，如果经过数学共同体消化这些重要猜想之后，后续还有更多的数学问题、数学猜想出现，所以数学与数学家不会消失。这些都需要数学家与普通数学工作者去推进。

（但是，如果 AI 公司进一步进化 AI ，AI 自己也能自动提出问题，自己分析，自己解决，而且能整理成人类容易理解的形式，那时候数学家还重要吗？现在我无法判断，因为这几个月 AI 数学的能力进化如此快。“数据挖掘”到“数学挖掘”？）

至少目前，人类数学家与数学工作者还是需要的，需要人类去背书、去消化。

数学评价中的权重可能要重新调整。

过去由于证明非常稀缺，所以“得到一个深定理”常常自然意味着这个人经历了长期学习和思考。

以后这两个东西可能会逐渐分开：得到证明是一件事，真正理解证明是另一件事。

而数学最终需要的，不只是一个不断增加的定理数据库。

它还需要有人能够把这些定理变成：思想、方法、结构和理论。

写在最后

所以这一次，我暂时不想评价这 722 份手稿究竟有多少最终会完全成立。

这个工作需要时间，也需要真正熟悉各个领域的专家去完成。

但这个事件本身已经足够值得记录。

722 份手稿，372 组结果。

Kakeya 、Bochner–Riesz 、Fourier restriction 、local smoothing 、三线性 Hilbert 变换 ……

这些过去一个领域可能研究很多年的问题，如今突然成批出现在 AI 生成的数学手稿目录里。

陶哲轩此前所说的从 proof scarcity 走向 proof abundance ，以及随之而来的 proof indigestion ，似乎已经开始成为现实。

也许未来真正稀缺的不再是一篇新的数学论文。

而是：有人真正把其中的数学读懂；真正知道一个定理为什么重要；真正理解证明中最关键的思想；真正能够把它讲给学生听；真正能够把它和其他数学联系起来；然后在此基础上，再提出新的问题。

所以 AI 越强，我反而越不认为“数学不需要学了”。

恰恰相反：学数学仍然必要，数学家仍然必要。

只是未来我们评价一个数学家的方式，可能需要慢慢从“你证明了多少、发表了多少”，更多地转向“你真正理解了什么，你发现了什么，你解释清楚了什么，以及你为人类的数学理解增加了什么”。

也许这才是 AI 时代数学真正开始改变的地方。

数学小谈