特殊整数的素性检验（基 3 法）

蔡家雄

特殊整数的素性检验（基 3 法）

设 n >= 3，r >=0，p >= 7 是素数，

且 Q=p^(4r+1)*2^n+1 ≡ 17 或 33 ( mod 40 )，

若 3^((Q -1)/2) ≡ -1 ( mod Q )，则 Q 必是素数。

当 p^(4r+1) > 2^n 时，是：蔡家雄（核心）猜想。



特殊费马数的素性检验（基 3 法）

设 n >= 2，且 p >= 7 是素数，

设 F=(p*2)^(2^n)+1 ≡ 17 ( mod 40 )，

若 3^((F -1)/2) ≡ -1 ( mod F )，则 F 必是 广义费马素数。



梅森质数的素性检验（基 3 法）

设 p >= 3 是素数，

设 M =2^p -1 是梅森数，

若 3^((M -1)/2) ≡ -1 ( mod M )，则 M 必是 梅森素数。

蔡家雄

目前最大的 proth 素数：10223*2^31172165+1 达到 9,383,761 位的素数，

未来 10 年，人类有望发现：长达（千万位）量级 的 proth 素数。

蔡家雄

特殊整数的素性/原根检验（基 10 法）

设 n >= 3，r 为非负整数，p >= 7 是素数，

且 Q=p^(4r+1)*2^n+1 ≡ 17 或 33 ( mod 40 )，

若 10^((Q -1)/2) ≡ -1 ( mod Q )，则 Q 必是素数。

且 10^((Q -1)/p) ≡/1  ( mod Q )，则 Q 必是（全循环）素数。

蔡家雄

梅森质数的素性检验（基 3 法）

设 p >= 3 是素数，

设 M =2^p -1 是梅森数，

若 3^((M -1)/2) ≡ -1 ( mod M )，则 M 必是 梅森素数。

蔡家雄

设 n >=1，

且 p=2*3^n+1，

若 3^((p -1)/2) ≡ -1 ( mod p )，则 p 必是素数。

蔡家雄

设 n >=1，

且 p=4*7^n+1，

若 3^((p -1)/2) ≡ -1 ( mod p )，则 p 必是素数。

蔡家雄

设 n >=1，

且 p=16*31^n+1，

若 3^((p -1)/2) ≡ -1 ( mod p )，则 p 必是素数。

AI 验证：3, 5, 6, 10 都是前十个素数的原根。