Cui Kun's Identity (for Goldbach partitions)

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Cui Kun's Identity (for Goldbach partitions)

Definition of symbols

Let N be an even integer, N≥6.

r2(N): the number of ordered prime pairs (p,q) such that p+q=N (Goldbach ordered prime pairs).

π(x): prime-counting function, the number of primes not exceeding x.

C(N): the number of ordered odd composite pairs (c1,c2) satisfying c1+c2=N.

Cui Kun's Identity

r2(N)=C(N)+2π(N-3)-N/2

Derivation idea

For even N≥6, all ordered odd number pairs (a,b) with a+b=N can be classified into four disjoint categories:

1. prime + prime
2. prime + composite
3. composite + prime
4. composite + composite

Counting all four categories and rearranging terms yields the above elementary counting identity.

Important remark

This identity is an elementary combinatorial counting formula over odd integer pairs summing to N.

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崔坤恒等式昨天深夜

已经通过了lean4 12.0的形式逻辑验证！

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关于今年以来AI帮助解决数学难题的趋势，

丘成桐也很担心会影响年轻数学家投入艰深问题研究的意愿，

他不相信AI可以真正涌现出数学上的创造力：

「笛卡尔发明坐标系，本身很简单，

就是用两个、三个数字来确定一个点。

但这是一个观念上非常重要的突破。

在这以前，人类理解几何，主要是直线、圆、椭圆、圆锥曲线。

有了坐标系以后，几何可以写成方程，

我们对空间、高维空间的理解都完全改变了。

我不相信在前人从来没有讨论过这个观念的情况下，

AI 能自己发明出坐标系。」

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崔坤恒等式非常简单，

在这以前人们一味地追求素数本身的规律，

抛弃了合数这个副产品，

然而，恰恰是崔坤发现并利用了合数对，

【这是一个观念上非常重要的突破。】

人类历史上，第一次创造性的发现了崔坤恒等式：

r2(N)=C(N)+2π(N-3)-N/2,有了这个方程，

人们把r2(N),π(x),C(N),N统一于其中，

本质上也是坐标系的具体运用！

对哥德巴赫猜想问题的认识完全变了。

人们从来没有非常平凡的研究过C(N)~N/2,

更没有发现⊿r=⊿C±1这个至关重要的定理！

逻辑是清晰的，

推理严谨且自洽性强大的结论早已不再依赖权威背书了！

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崔坤恒等式的两个纯文本形式：

1不为素数版本（适配现代数论约定，偶数N≥6）

r2(N) + N/2 = C(N) + 2π(N-3)

说明：素数计数函数π(N-3)包含素数2，统计所有不超过N-3的素数。

1为素数版本（回归1742年哥德巴赫猜想原创定义）

r2(N) + N/2 = C(N) + 2π(N)

说明：素数计数函数π(N)包含1，

统计所有不超过N的奇素数。

两个版本的核心差异仅来自素数定义的边界约定：

当N-1为合数时，两个版本计算结果完全一致；

当N-1为素数时，1为素数的版本计算结果比另一个版本多2，

逻辑完全自洽。

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