硬核破解高一不等式难题，体验极致爽感！

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硬核破解高一不等式难题，体验极致爽感！

原创  数之缘  高中数学学习方法研究  2026 年 10 月 18 日 23:01  江苏

本文分享的是一道颇有难度的基本不等式有关的证明题。这道题涵盖了“1”的代换、齐次化、换元、配方、凑基本不等式等一系列解题方法和技巧，具有相当的综合性。

相信这样的一道题，能让高一小伙伴学会很多的实用解题方法，进而体验难题通关的极致爽感！

例题：

已知 x 和 y 均为正实数，且满足 x+y=2 ，证明：



分析：

如果不是证明题，只是一个填空题，有人会不会盲猜 x=y=1呢？

既然是证明题，那就得按套路一步一步来。

首先，已知条件中有分式，在分母中有二次也有一次，怎么做？结合已知条件做齐次化处理。这个大部分小伙伴应该能想到。

齐次化之后，得到关于 y/x 或 x/y 的表达式，自然用换元更方便。

换元后，这道题还是有点搞，只有一部分能用基本不等式。

不能用基本不等式的部分怎么办？考虑到是关于变量的二次函数，办法就是配方了。

最后，需检验配方的部分和基本不等式部分的取等条件是一致的，最后得到最小值。

下面给出具体的证明过程。

证明：



当且仅当 t=1 ，即 x=y=1 时取等号。

高中数学学习方法研究

liangchuxu

另一种证明方法

liangchuxu

对于高一学生，如果未学过导数，也可以用反证法，证明方程x^3+x-2=0唯一解

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∵ x, y∈R+, 且x+y=2,
∴ 1/x^2+2/y=(x+y)^2/(4x^2)+(x+y)/y
=(x^2+2xy+y^2)/(4x^2)+(x+y)/y
≥4xy/(4x^2)+(x+y)/y=y/x+x/y+1
≥3, 即1/x^2+2/y+2≥5(仅当x=y=1时取等).
注：哪有硬核破解, 哪来极致爽感.

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∵ x, y∈R+, 且x+y=2,
∴ xy≤1.
∴ 1/x^2+2/y=1/x^2+1/y+1/y
≥3/(xy)^(2/3)≥3, 即1/x^2+2/y+2≥5.

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现在有的专家真如魏书生先生所说：（先）把
明白的事说糊涂，再重说（说明白）.