用魔法打败魔法：用康托尔对角线法打败希尔伯特无穷旅馆

门外汉

先设计一个简单的数学模型：在数轴的正半轴的每一个正整数点位上建造一个房间，共无穷个房间，这便是希尔伯特的无穷旅馆。
有一个大巴车，车里有无穷多个客人，每个客人都用正整数一一编号，令1号客人住1号房间，2号客人住2号房间，3号客人住3号房间……，则所有旅客住满所有房间，即，所有正整数编号旅客全部分布到数轴正半轴上。
现在将无穷旅馆所有房间全部清空，进入下一个场景：
又来了1辆大巴车，车里也有无穷多旅客，但这辆大巴车有点特殊，车内的无穷多旅客全都用［0，1］区间的所有实数进行编号，比如某位旅客a1编号为0.3，某位旅a2编号为0.9，某位旅客a3编号为0.85等等。让a1号旅客住1号房间，a2号旅客住2号房间，a3号旅客住3号房间……问：所有旅客都有房间可住吗？
康托尔已经用对角线方法证明：旅客数量多于房间数量，所以仅仅一部分旅客就会住满无穷旅馆，另外无穷多的旅客无房间可住。
这说明什么问题呢？说明数轴正半轴的长度不够长了，另外一些人如果想要住进无穷旅馆，唯一的办法就是将数轴的正半轴再延长一些，多建造一些房间。
但数轴的正半轴是一条射线，射线是可以无限延长的，既然是无限延长的，怎么会出现不够长的情况？又如何能再延长？
换一个说法就是：所有实数旅客排成的队列，要长于所有正整数旅客排成的队列。
这正是用魔法打败魔法，用康托尔打败希尔伯特。