祖暅原理——它的应用和推广

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祖暅原理——它的应用和推广

原创  陈功  听名师讲数学  2026 年 10 月 23 日 07:49  天津

      我们知道，利用祖暅原理计算某个几何体的体积，必须构造出另一个几何体。此几何体至少要具备两个条件：首先，它的体积（计算公式）是已知的或易于求出的；其次，它必须符合祖暅原理的条件，即该几何体与待求体积的几何体能夹在两平行平面之间（等高）、且用平行于这两个平面的任意一个平面去截它们时，所截得的截面面积总相等。我们不妨称符合这两条件的几何体叫做原几何体的“祖暅模型”或“祖暅参照体”。

       如何根据已知条件构造“祖暅模型”是运用祖暅原理求几何体体积的难点和关键。人民教育出版社版教材在推导球体积公式时给出了一个范例（高级中学课本《立体几何》（必修）p109）。这个半球的“祖暅模型”构造得十分精巧，让人拍案叫绝，但因为回避了构造过程，使人产生这样一种感觉：这么巧妙的模型可能是哪位天才的数学家灵机一动的灵感产物！其实，半球的“祖暅模型”的构造过程并不神秘，也不复杂，只要掌握了分析要领，一般程度的学生也应该能够构造，甚至更复杂的几何体求积问题也能解决。

      本文的目的就是通过几个实例介绍构造祖暅模型的一般分析思路和方法。



附：祖暅（音 gèng），也常写作祖暅之，是南北朝时期南朝的数学家，天文学家祖冲之的儿子，家学渊源极深。他最广为人知的贡献是“祖暅原理”：“幂势既同，则积不容异”。意思是：如果两个立体在等高处截面面积都相等，那么它们的体积也一定相等。这个原理比西方卡瓦列利原理早了一千多年，是古代中国数学的一大亮点。他用这个原理求出了球体积公式，完善了刘徽未竟的工作。另外，他还参与修订历法，制造仪器，在天文和工程上也有建树。

湖北  陈功

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