已知 a,b,c,d∈R+，a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd，求证：以 a,b,c,d 为边的四边形是菱形

波斯猫猫

已知: a,b,c,d∈R+,且 a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd,
求证: 以a,b,c,d为边的四边形是菱形(来自抖音).

时空伴随者

\(显然a^4+b^4+c^4+d^4\ge2a^2b^2+2c^2b^2\ge4abcd\\\)
\(当且仅当a^2=b^2,c^2=d^2,ab=cd时等式成立\\\)
\(即a=b=c=d,故以a,b,c,d为边的四边形是菱形\)

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的帖子和 时空伴随者 的解答都很好！已收藏。

波斯猫猫

思路：众所周知, 在a,b,c,d∈R+, a^4+b^4+c^4+d^4≥4abcd中,
当且仅当a=b=c=d时等号成立, 故以a,b,c,d为边的四边形是菱形.
或
思路：众所周知, 在a,b,c,d∈R+, a^4+b^4+c^4+d^4≥4abcd中,
等号成立的充要条件是a=b=c=d, 故以a,b,c,d为边的四边形是菱形.
或
思路：由a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd有，
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+(ab-cd)^2=0,
即a=b=c=d....