麻省理工张伟与两名博士生将 Gross–Zagier 纲领推进到伴随 L 函数，论文正在准备中

luyuanhong

麻省理工张伟与两名博士生将 Gross–Zagier 纲领推进到伴随 L 函数，系列论文正在准备中

原创  数学家  数学家  2026 年 11 月 5 日 00:00  北京



Ryan C. Chen（陈瑞安，音译）是华裔青年数学家，现任普林斯顿大学克莱研究学者（Clay Research Fellow）。他本科毕业于普林斯顿大学，后在剑桥大学获硕士学位，2025 年在麻省理工学院获博士学位，导师为张伟教授。他的研究聚焦数论与算术几何，特别是高维 Shimura 簇上的 Gross–Zagier 型公式，以及 Faltings 高度与 L 函数次首项之间的联系，并曾建立新的算术 Siegel–Weil 公式。

卢维潇是麻省理工学院数学博士研究生，导师为张伟教授，本科毕业于北京大学数学科学学院。他的研究方向为自守形式与算术几何，尤其关注酉群上的相对迹公式、Fourier–Jacobi 周期以及 Gan–Gross–Prasad 相关问题。他曾获 2022 年阿里巴巴全球数学竞赛金奖第一名，并在这次合作中承担伴随L函数与对角闭链情形下的局部与全局迹公式分析。

张伟是麻省理工学院数学系教授、美国艺术与科学院院士，当代数论与算术几何领域的代表人物之一。他本科毕业于北京大学，在哥伦比亚大学获博士学位，导师为张寿武教授，曾获 2019 年 Clay 研究奖。他的标志性工作包括算术基本引理、酉群上的 Gan–Gross–Prasad 猜想，以及与恽之玮合作在函数域上对 Gross–Zagier 公式的高阶推广。在这项合作中，他是整体框架的提出者和方向掌舵者。

2026 年 8 月 6 日，在麻省理工学院举行的“Gross–Zagier 40 years later”国际会议上，普林斯顿大学 Clay Research Fellow Ryan C. Chen  报告了张伟与 Ryan C. Chen 、卢维潇合作的系列论文“Faltings heights and subleading terms of the adjoint L-functions: I, II, III”的阶段性进展。该系列论文目前处于 in preparation 状态，尚未正式完成，但已被列在张伟教授 2026 年 9 月 16 日更新的 CV 中预印本部分第一条。会议为纪念 Gross–Zagier 公式发表四十周年，汇集了 Don Zagier 、张寿武、Henri Darmon 、张伟等该领域重要学者，因此这项报告被视为高维 Gross–Zagier 型公式方向的一次集中展示。

这项工作的出发点是 Colmez 猜想的一个深远推广：Colmez 猜想断言，带有复乘（CM）的阿贝尔簇的 Faltings 高度，会出现在某些 Artin L 函数的“次首项”中。Colmez 猜想的“平均版本”已由 Andreatta–Goren–Howard–Madapusi 和袁新意–张伟两组数学家分别证明。而 Chen 、卢维潇与张伟提出的，是一个更一般的框架：他们猜测，(n-1) 维酉 Shimura 簇上的对角闭链，其 Faltings 高度应当与的某些自守表示的伴随 L 函数的次首项相等。当 n=1 时，这个猜测退化为平均 Colmez 猜想的一个变体。在报告中，Chen 说明了这个猜想的来源，并报告了 n=2 情形下通过迹公式得到的结果。

这项工作的创新性在于它所处的坐标系。Gross–Zagier 公式在 1986 年将模曲线上 Heegner 点的高度与椭圆曲线 L 函数的中心导数联系起来，此后四十年间，数论学家一直在追问：这个公式的高维版本应当是什么样子。张伟的算术 Gan–Gross–Prasad 纲领为这一问题提供了最系统的框架，而 Chen 与卢维潇的加入，则将这一框架具体落实到了伴随 L 函数和酉 Shimura 簇的对角闭链上。论文目前处于进行中状态，n=2 的情形已有迹公式结果，一般 n 的预测也已明确陈述。如果这一纲领完成，它将为“ L 函数的次首项”提供一个可以在几何上直接操作的算术对应物，其意义不亚于 Gross–Zagier 公式当年为“一阶导数”所提供的 Heegner 点。

次首项：一个分析概念如何在高维几何中找到位置

一、Gross–Zagier 公式教给我们的第一课

1980 年代中期，Gross 和 Zagier 证明了一个等式，它说的是：模曲线上一个特殊点的高度，等于某个 L 函数在中心点处的导数值。那个特殊点叫做 Heegner 点。高度衡量的是这个点在算术意义上的“尺寸”或“复杂度”；L 函数在中心点的导数，则是分析一侧的展开系数。等式说，这两个看似无关的量是同一个东西。

这个公式之所以在数论中占据核心位置，是因为它为 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想提供了第一个系统性的进展。BSD 猜想关心的是椭圆曲线上有理点有多少，而 L 函数在中心点的零点阶数被猜想恰好等于有理点群的秩。Gross–Zagier 公式处理的是零点阶数为 1 的情形：它证明，如果 L 函数在中心点的一阶导数不为零，那么椭圆曲线上就存在无穷多个有理解。张伟后来与合作者沿着这条路线，对相当大比例的椭圆曲线证明了 BSD 猜想的相关情形。

Gross–Zagier 公式留下了一个问题，这个问题在四十年间反复被提起：如果零点阶数不是 1 ，而是 2 、3 ，或者更高，那么中心点附近的展开中，第一个可能非零的项——也就是“次首项”——是否也有一个几何对应物？对于椭圆曲线本身，这个问题至今没有完整的答案。但如果把场景从椭圆曲线换成更高维的 Shimura 簇，从标准 L 函数换成伴随 L 函数，那么次首项确实有可能在几何中找到自己的位置。Ryan Chen 、卢维潇与张伟的进行中工作，处理的正是这个场景。

二、Colmez 猜想：次首项第一次与高度相遇

要理解这篇论文的问题，需要先知道一个更早的猜想。Colmez 猜想说的是：一个带有复乘的阿贝尔簇，它的 Faltings 高度，会出现在某个 Artin L 函数的次首项中。Faltings 高度是 Faltings 在证明 Mordell 猜想时引入的一种对阿贝尔簇的算术度量。可以把它想象成：一个定义在数域上的阿贝尔簇，它在各个赋值下的“大小”被汇总成一个实数。Colmez 猜想断言，这个几何对象的算术尺寸，等于一个分析对象在中心点附近展开中的某个系数。

Colmez 猜想本身已经非常深刻，它的“平均版本”在近年被两组数学家分别证明。但 Chen 、卢维潇与张伟想要的是一个更一般、更系统的版本。他们考虑的不是单个阿贝尔簇，而是一整族 Shimura 簇上的闭链。具体来说，他们考虑 (n-1) 维酉 Shimura 簇上的对角闭链，并猜测这些闭链的 Faltings 高度，等于 U(n) 的某些自守表示的伴随 L 函数的次首项。

这个猜测的结构值得停下来看一眼。当 n=1 时，酉 Shimura 簇是零维的，“对角闭链”退化成一个点，而伴随 L 函数退化成一个 Artin L 函数。此时他们的猜测就变成了 Colmez 猜想的一个平均版本。换句话说，这篇论文不是在 Colmez 猜想之外另起炉灶，而是在把它放进一个更大的框架：Colmez 猜想处理的是“点”的高度与“Artin L 函数”次首项的关系，而 Chen–卢–张把它推广到了“对角闭链”的高度与“伴随 L 函数”次首项的关系。维度升高了，L 函数的类型也变得更一般了。

三、为什么是“伴随 L 函数”，为什么是“对角闭链”

伴随 L 函数是自守表示的一类重要 L 函数。标准 L 函数记录的是一个表示与它的对偶表示之间的相互作用，而伴随 L 函数记录的是表示“内部”的对称性。它们在自守形式形变、p 进 L 函数以及 Galois 表示的研究中反复出现。在 Colmez 猜想中，出现的是 Artin L 函数；而在 Chen–卢–张的推广中，出现的是伴随 L 函数。这个替换不是随意的：伴随 L 函数的次首项，在自守表示形变的语境下，恰恰承载着关于表示“刚性”的信息。如果这个分析量能够等于某个几何闭链的高度，那么它就不再只是一个需要计算的系数，而是一个有算术几何意义的对象。

对角闭链则是高维 Shimura 簇上一类具有特殊算术意义的子几何对象。在经典情形中，Heegner 点是模曲线上的一个零维对象；而在高维情形中，对角闭链扮演着类似角色：它是 Shimura 簇内部的一个子簇，其算术性质与 L 函数的特殊值之间的联系，正是 Gross–Zagier 型公式在高维所要表达的内容。Chen 在杜克大学的报告标题中使用的“对角闭链”（diagonal cycles），指的就是这类对象。

所以这篇论文的问题可以这样表述：是否存在一个等式，使得左边是对角闭链的 Faltings 高度，右边是伴随 L 函数的次首项？经典 Gross–Zagier 公式是 n=1 、椭圆曲线、标准 L 函数、一阶导数的情形；Chen–卢–张的框架则把所有这些参数都推到了下一个层级。

四、迹公式：把两边放进同一架天平

要证明这样的等式，需要一种能够同时处理几何侧和分析侧的结构性工具。Chen 、卢维潇与张伟使用的是相对迹公式。经典 Arthur–Selberg 迹公式计算的是群作用在自守表示空间上的迹，它的几何侧展开为轨道积分，谱侧展开为自守表示的谱。相对迹公式是它的变体：对两个不同的子群分别积分，再取它们的相对信息。这种设置天然适合处理周期与 L 函数值之间的关系。

在张伟此前的工作中，相对迹公式已经被证明是处理算术 Gan–Gross–Prasad 纲领的正确工具。他的“算术基本引理”断言某个局部轨道积分与某个局部高度相等；一旦这个局部等式成立，全局的 Faltings 高度等式就可以由迹公式的比较自动给出。Chen 、卢维潇与张伟的这篇论文，正是在的情形下把这一策略落实到了伴随 L 函数和对角闭链上。杜克大学报告的摘要明确说，他们报告的是“情形下通过迹公式得到的结果”。这意味着，框架的一般猜想已经陈述，而第一个非平凡情形的验证已经完成。

Ryan Chen 此前在算术 Siegel–Weil 公式方面的工作，为这个框架提供了技术基础。他建立的公式将 Kudla–Rapoport 1-cycles 的 Faltings 高度与 Siegel–Eisenstein 级数 Fourier 系数的导数联系起来，而后者与 L 函数的次首项之间有已知的联系。这条线索与迹公式路线汇合在一起，使得“高度等于次首项”不再是一个孤立的猜测，而是一个有局部验证路径的纲领。

五、次首项的意义，以及它还没有说出的话

Gross–Zagier 公式的历史表明，当一个分析量在几何中找到对应物时，它的价值远远超出等式本身。Heegner 点的高度不仅给出了 L 函数导数的一个几何解释，还直接催生了对 BSD 猜想的系统性进攻。Chen 、卢维潇与张伟的这篇论文，试图为“伴随 L 函数的次首项”做类似的事情。

如果他们的猜测成立，那么伴随 L 函数的次首项就不再只是一个在解析数论中出现的系数，而是一个可以用 Shimura 簇上对角闭链的 Faltings 高度来计算的对象。这在 p 进 Langlands 纲领和自守形式族的研究中尤其有意义：伴随 L 函数的特殊值控制着自守表示的形变与刚性，而一个几何对应物意味着这些分析量可以被“锚定”在算术几何的框架里。

但也要清楚这篇论文目前还没有说出的话。一般 n 的猜想已经陈述，n=2 的迹公式结果已经报告，但完整的证明尚未完成。Colmez 猜想本身在平均版本之外仍有深化的空间；从 n=2 到一般 n 的技术跨越，需要相对迹公式在更高阶的轨道积分上得到相应的算术基本引理。这些工作仍在进行中。Gross–Zagier 公式在 1986 年给出了一个等式；四十年后，Chen 、卢维潇与张伟给出的是一个框架、一个猜想，以及在第一个非平凡情形下的验证。这或许正是高维理论在当下阶段应有的样子：次首项的几何位置已经被指出来，但通向它的完整道路还在铺设之中。

来源｜MIT 及网络公开报道

撰文｜数学家编译小组

排版｜司徒

校对｜慧玲

责编｜燕北平