[转帖]最美也最复杂的数学结构E8与三旋联姻

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最美也最复杂的数学结构E8与三旋联姻
笑含睿 转帖
19世纪晚期，数学家发现了复杂的248维对称结构，被称之为“E8”。这个结构的维数所代表的并不是一个与我们生活的三维空间类似的必要空间，但它们却与数学自由度相符合，每一个维数代表一个不同的变量。无独有偶，20世纪50年代末，我国解放后从小学受教育就开始全程培养的业余科学爱好者，也发现了称为类圈体自旋的数学对称结构，简称“三旋”，也并不是一个与我们生活的三维空间类似的必要空间，在2001年初联上了姻。
E8是“李群”的一个实例。李群这一理论是19世纪挪威数学家索菲斯•李(Sophus Lie)提出来的，用于解释对称物体可随意移动而保持形状不变这一现象。举一个相对简单的例子，一个三维球体绕它的轴心旋转时，无论从哪一个角度看，它的形状都是不变的。而E8解释的是57维物体的对称性，其中的一个原因只有高级数学家才会知道——E8本身就具有248个维度。
我们说的50年前萌生的三旋，是把汤川秀树说的基本粒子的自旋是一种内禀现象，和卡鲁扎--克莱因遗产中的第五维是微小圈结合起来，如果一个环量子类圈体，能作面旋（如圈体的滚动）、体旋（如圈体的翻动）、线旋（如圈体表层绕中心的免动），在存在一个类似不动点质心的情况下，一个全对称的环量子类圈体，能不相矛盾具有62种自旋状态，即31倍于球量子粒子客体自旋态。这其中，线旋又分为平凡线旋（如普通的圈体免动）、不平凡线旋（如墨比乌斯体类扭动）、收敛线旋（如克莱因瓶类反馈）、节点线旋（如艾根指的从化学进化到生物学进化阶段中的超循环运动）、孤立线旋（如水中的孤波）。因收敛线旋、节点线旋和孤立线旋不具有全对称性，计算自旋态时应除开。
后来E8和三旋这种对称形态，出现在与弦理论有关的计算中。弦理论是“万有理论”的一个候选者，可能解释宇宙中所有的力，但它仍需要通过实验进行验证。此外，248维对称结构也是2007年由物理学家加勒特•里希提出的另一个万有理论的基础。他将E8称之为“最美的数学结构”。现在，物理学家又在一个截然不同的领域——超低温晶体实验——发现E8。这就是牛津大学的拉杜•科尔迪亚及其同事，对一个由钴和铌构成的晶体进行冷冻，使其温度降至只比绝对零度高0.04摄氏度的程度。晶体内的原子排列成长长的平行链。由于一种被称之为“旋转”的量子特性，依附在这些原子链上的电子表现出类似条形磁铁的特性，每一个的指向只能是向上或者向下。
早在三旋与量子计算机和DNA分子计算机的研究中，也联系到一种称为“孤子演示链”的演示链，这是因为三旋理论与卡路扎--克林理论不同：如果有人是把空间中一系列的点加在一起看成一根线的话，克林是把这些点作为极其微小的圆圈叠合起来形成圆柱形，再把这个直径如此细微的圆柱形看成一根线的。而三旋理论则坚持这些圆圈是耦合组成链，再把这条微小链看成一根线的。
循着这条思路，把两根圈链耦合起来，挪动冠链圈，在垂直的时候，就会产生机械孤波滚动。我们把具有这种功能的圈链称为“孤子演示链”；把产生的机械孤波滚动，称为"机械孤波"。这种演示链不同于多米诺骨牌。以竖立砖头作多米诺骨牌机械波动，需要把倒下去的砖头恢复成原样才能进行第二次波动。孤子演示链不须做这种工作，就能再次模拟这类波动。
    该演示链可用商店出售的穿钥匙用的铁圆圈10至更多个制作。为了表达作图示的方便，我们把链圈与链圈之间的交合不直接画出来，而是像化学键那样用一根短线联接，以表示它们之间还有一段活动距离可移动。其实化学键反映的也是构成分子的原子之间有一段活动距离的限制。由于链圈与链圈相交，两个圈面可以近乎重合，也可以相互垂直。在链条垂直时，两圈面垂直的交线与其过圆心的连线可重合。这种情况称为“正交’，圈与圈之间只有上下之分，是一种平凡相交。
    把两列链条耦合起来，让两列链圈依次对应相交，就还有各种各样的交法。特别是要模拟机械孤波滚动，并使其转动角度最大，既平整又顺当，它们的相交是有严格编码要求的。演示最常见的是提着主链的孤子演示链。如用示意图，Z表示主链，f表示副链；左、右、前、后表示主、副链圈面正交又重合时，各列圈子的位置编码变化。孤子演示链的主、副链之分是：左手提起双链中首端的一个链圈，能使下面的链圈构成两两排列的（尾端可单可双），该链圈称为主链的冠圈（如Z1）。这时再用右手提起它下面的一个链圈，如果它能提起并分出一条单链的，该链圈称为副链的冠圈（如f1），该单链就称为副链；左手提着的单链就称为主链。如果提起主链冠圈下面的一个链圈，不能分出一条单链而只是提起它下面所有链圈的，它一定是主链的亚圈（如Z2），同时可以确定与它并排的另一圈为副链的冠圈（f1）。左手提起主链的冠圈，右手提起副链的冠圈向上挪动并翻转一个面再放下，这时整个双链就会产生机械孤波滚动。一般图示意的是，左手提着主链的冠圈，圈面朝向自己，让主链的亚圈和副链的冠圈与它正交，就有左右、右左两种配对编码；再下面与它们正交的主、副链的两个圈，有后前、前后两种配对编码。如图所示副链列从冠圈开始的编码规则是“右、前、左、后”的循环。这时左手提着主链，右手正好顺手能挪动副链，因此称此规则为右手螺旋。相反，如果副链列从冠圈开始的编码规则是“左、后、右、前”的循环，这时右手要伸到左边去才能挪动副链，这就很不方便。当然这不是绝对的，因为对于左撇子，换一只手正好也一样；或者这时左手提着的主链冠圈翻个面，就又成了副链列是“右、前、左、后”的循环编码排列。看来弧子演示链天生是为着适应右手螺旋的人设计的，或者说是地心引力产生右手螺旋。
    其次，把孤子演示链按上述编码首尾相接，变成一条双链闭合链圈，左手提起冠圈仍能产生孤波滚动，甚至除1股外，第2股、3股单链也能产生孤波滚动。可见孤子演示链折叠，不影响孤波的产生。并且，产生的孤波滚动，始终是要以两条单链耦合为基础。
    孤子演示链最奇特的是与DNA结构的相似性。DNA属于高分子化合物，是由四种核苷酸连接起来的很长的长链。每一个核苷酸又由三部分构成：一个五碳糖、一个磷酸根和一个碱基：碱基+核糖=核苷，核苷+磷酸根=核苷酸，许多核苷酸聚合成核酸。四种核苷酸中的磷酸根都是一样；组成DNA的五碳糖叫脱氧核糖，四种碱基是腺嘌呤（A）、鸟嘌呤（G）、胞嘧啶（C）和胸腺嘧啶（T）。用x射线衍射等方法来研究DNA，发现DNA分子有两条链，都向右盘绕，成为规则的双螺旋结构。1979年里奇（A.Rich）等发现了左手螺旋DNA（Z--DNA），但自1953年沃森和克里克右手螺旋DNA（B--DNA）发现以来，DNA大部分为右手螺旋。两条盘旋的长链代表脱氧核糖和磷酸根，排列在外侧；两条长链上的横档代表一对碱基（A.T或G.C），排列在内侧。相对应的两个碱基则通过氢键彼此联结，形成碱基对。碱基对的组成有一定的规律，即腺嘌呤（A）一定与胸腺嘧啶（T）配对，鸟嘌呤（G）一定与胞嘧啶（C）配对，也就是说，如果一条链上某一碱基是A，则另一条链上与它配对的必定是T，依此类推，那么与T配对的必定是A；与C配对的必定是G，与G配对的必是C，这叫做碱基配对原则，DNA分子可简单地用碱基配对来表示：
           ……--A--A--C--C--G--A--T--……
1  1  1  1  1  1  1
           ……--T--T--G--G--C--T--A--……  
    如果把A、T、C、G都换成圆圈表示，再把两条长链垂直，DNA分子与图表示的孤子演不链是非常相似。孤子演示链已成为把物质、能量、信息、生命打包在一起思考的经典实物模型之一。
而由钴和铌构成的原子链奇怪的是，在对晶体施加一个强大的5.5特斯拉磁场，与这些电子“磁铁”的方向垂直时，链条内旋转的电子会自发地呈现出各种样式。如拿3个电子这样一个简单例子来说，它们的方向会是上上下或者下上下以及其它可能性。每一个截然不同的样式拥有与之相关的不同能量。这些不同能量水平的比率显示，旋转电子按照E8对称结构中的数学关系自我调整。基本上由一维磁铁链构成的这样一个简单系统，在理论上预测的类似系统能量与根据E8对称结构得出的预期相符合。虽然E8确实在弦理论计算中出现，但在磁晶体实验中观察到这种对称结构，并不能为弦理论本身提供任何证据。事实是，在这样一个旋转链中看到这个独特的对称结构，对于弦理论本身并不意味着什么。这种对称结构存在的意义在于，能够与任何独特的物理学现象分离开来。
据英国《泰晤士报》最近报道，18名世界顶级数学家凭借他们不懈的努力，历时四年，完成了E8这个世界上最复杂的数学结构之一的计算过程。尽管E8的计算结果还无法立即得到应用，但这个数学家小组毕竟还是解决了困扰数学界长达120年，曾经一度被视为“一项不可能完成的任务”的数学难题。这有点像人类基因工程，这一工程的的目的就是为了绘制包含一个人所有遗传信息的DNA的图谱。.E8计算结果是一个矩阵，它拥有的行数和列数均为45.306万。E8的根系统包含240个向量，这些向量均在一个8维空间之内。E8的计算要求输入的数据量是很小的，但得出的答案本身就是庞大的，而且非常密集。18名数学家要做的就是“绘制”E8的结构，展现其所有不同的表现形式。他们仅为计算机编制计算公式的程序就用去了2年时间。在接下来的第3年，他们又是要找到一台计算能力超强的计算机完成计算。最后，华盛顿大学的超级计算机“塞奇(Sage)”花了77个小时得出答案。人类基因工程需要十亿字节的磁盘存储空间，E8则需要600亿字节，如果将这些空间用于存储MP3，可连续播放45天。但三旋也花去人们近50年时间，知之的人也许18名还不到。