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本帖最后由 jzkyllcjl 于 2018-7-29 22:48 编辑
现代数学教科书中的实数理论有三种：维尔斯特拉斯的实数理论是：称无尽小数为实数（参看余元希、田万海、毛宏德《初等代数研究》上册）；戴德金的实数理论是建立在有理数域分划基础上的实数理论（参看菲赫金哥尔茨《微积分学教程》一卷一分册）；康托尔的实数理论：称每一个等价基本数列类为一个实数（参看华东师范大学编《数学分析》上册附录II）。这三种实数理论都需要使用无穷是完成了的总体的实无穷概念。但前边已经讲过，无穷集合不是能被人们构造完成的总体，这样一来，现行实数理论就存在着实际应用的困难；存在着理论研究中三分律的反例；实数集合上函数理论存在着海涅定理的反例。为解决这些问题，笔者考虑到：虽然现实数量的大小具有可变性，但在相对性与暂时性的意义下可以认为：任一现实数量都有一个确定的大小，可以提出“数学是研究与描述限数量大小的科学”的思想，并使用理想与现实、精确与近似相互依存的唯物辩证方法，改写实数理论如下。
定义1（理想实数的非形式化定义）： 现实数量的大小（包括现实线段长度）的绝对准表达符号叫做理想实数（简称为实数）。其中不能用有理数绝对准表达的理想实数都叫无理数（例如：π与 ）。与除不尽的有理数1/3类似，对π与 也需要使用康托儿实数理论中的基本数列中的数（十进小数或其它有理数）近似表示。所以提出如下的实数理论 。
定义2（数列极限的非形式化定义）：对于任何无穷数列An 与任意小误差界ε（与现行数列极限的形式主义的区别是：笔者在符号ε之前加上误差界的定语；误差界可以取无穷数列 中的数，不需要取无理数），若有理想实数α及自然数N存在，使∣An-α∣≤ ε ，则称数列An 收敛，并称理想实数α为n 趋向于无穷大时，无穷数列 的极限值（简称为极限）。记作：lim n→∞An=α ; 也可以记作：An→α 。关于这个定义中的名词“无穷大”及其表达符号∞不是通常意义的数，无穷大是人们无法达到的理想性数学元素；而且数列的极限值，也常常是数列不能达到的理想实数。
定义3：若数列 的每一项都是有理数，且对任意小误差界ε都有自然数N存在，使得当n、m>N时，∣An-α∣≤ ε 总成立，则称数列An 为康托尔基本数列。
根据这个定义，康托儿基本数列是无穷数列列性质的变数，它不是定数，但对任意小误差界，n 足够大时的那些项可以近似地被看作同一个定数。
定义4（实数与其近似值之间辩证关系） 若数列 的极限是理想实数 , 则称 是理想实数 的全能（即对任意小误差界的能）近似值数列（或简称为全能近似实数），它与理想实数之间有全能近似相等的关系, 并用符号“~ ” 表示这种关系；将全能近似值数列在满足误差界要求处截断之后得到的数叫做理想实数 的足够准近似值；理想实数的近似值与理想实数之间有着相互依赖的对立统一关系。
定义5（全能近似实数与全能近似极限）若数列 An的极限是理想实数 α，且数列 中的每一项满足条件 An>α(An<α)，则称 α+(α-)为数列 的全能近似极限，它表示数列An 是以大于（小于）的方式趋向于理想实数 α 的，并称 α+(α-)为理想实数 的全能近似实数。
康托儿从数列出发建立实数理论的做法有实际意义，但在康托儿实数理论中“把彼此等价的基本数列归为一类，每一类称为一个实数，记号 表示与 等价的基本数列类构成的实数是 ， 叫做 的一个代表。”的说法不恰当，因为：他把数列性质的变数当作定数了，把等价看作相等了。为此，笔者再提出如下的实数公理。
公理（实数公理）：每一个理想实数都存在着以它为极限的康托尔基本数列；除0以外的每一个理想实数都存在唯一的以它为极限无尽小数（笔者称；无尽小数都是以十进小数为项的康托儿基本数列的简写，具体例子见 下文）表达式，这些基本数列与这个无尽小数收敛于这个理想实数。反之，每一个康托尔基本数列（或称以有理数为项的柯西基本数列）都存在一个唯一的理想实数（简称为实数）为其极限，而且等价(也称全能近似相等)的康托儿基本数列的极限相同。
定义6(理想实数的近似单子)：根据现实数量大小的可变性与测不准性，可以提出：满足条件∣β-α∣<1/10^n、的一切理想实数β 的集合，叫做理想实数α 的近似单子（简称为单子）。 虽然任何理想实数 的绝对准十进小数具有无法构造完毕的不存在性，但是在它的近似单子中总可以找到满足误差界 十进小数近似表示它。与非标准分析中的单子相比较，它的单子中的数无法被十进小数表示，而笔者的单子中存在着能够被写出的十进小数。
例一：由于 分数1/3 可以表示 线段长度的三分之一，所以1/3是一个理想实数, 但在实际应用中 需要寻求它的十进小数表达式.,此时遇到永远除不尽的困难;人们只能 在1被3除的除法过程中得到 1/3的对于误差界序列{1/10^n}的不足近似值无穷数列 0.3，0.33，333，…… 与过剩近似值无穷数列 0.4，0.34，0.334，……，这两个数列都是康托尔的基本数列，而且相互等价，按照数列极限理论，它两有共同的极限1/3。 其中前一个数列可以简写为 0.333…… 并称它为无尽循环小数。但必须知道它是康托尔基本数列性质的有界变数，它不能等于定数，等式1/3=0.333... 不成立；成立的只能是全能近似等式 1/3~0.333……，它表示一系列近似等式 1/3≈0.3； 1/3≈0.33； 1/3≈0.333； 1/3≈0.3333；……：或极限性等式 。应当知道：理想实数的绝对准十尽小数是不存在的，人们必须采用 准确到一定位数的足够准近似十进小数，例如把区间[0,3333,0.3334]中的所有理想实数作为1/3的一个单子，在这个单子中能够找到理想实数1/3满足误差界的万分之一的十进小数表示的近似值。全能近似表达式给出了理想实数的一个能够应用的活生生的可用的工具：取极限得到理想实数，在适当的地方截断得到足够准十进小数表示的近似值。
π与√ 2的问题与此类似,由此 可以 看出无尽循环小数0.333…… 与无尽不循环小数 1.41412……， 3.1415926……都是以十进小数为项的 针对误差界序列{1/10^n} 的不足近似值意义的康托尔基本数列 的 ， 它们本身不是定数，它们的极限 才是 定数性质的理想实数。
上述形似书理论 具有 许多好处你，其中之一 是给出了实数的 如下的四则运算法则。根据笔者改革后的实数理论，理想实数都可以表示为康托儿基本数列的极限，这些数学列是收敛数列，所以可以得到实数的四则运算法则是其康托儿数列四则运算的极限。例如：
π- =lim{3.1415926……-1.4142135……}
=lim{3.1-1.4,3.14-141,3.141-1.414,3.1415-1.4142,3.14159-1.41421，3.141592-1.414213，.……}
=lim{1.7,1.73,1.727, 1.7273, 1.72738, 1.727379……}
需要注意的是：逐项相减后的数列虽然收敛，但这个数列并不是无尽小数意义的递增数列，事实上，上边逐项相减后的数列，第三项小于第二项。但可以修改为无尽小数意义的康托儿基本数列1.7，1.72.1.727，1.7273，1.73727，……，并简写为无尽小数1.73727……。
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发表于 2018-5-31 15:45
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