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概率的乘法法则在《歌德巴赫猜想》问题上的运用
教科书上有关的概率知识摘录：
事件的独立性的定义：
设有事件A与B，如果
P(A*B)=P(A)*P(B)
那么我们就称事件A与B为互相独立。
...
上面仅讨论了两个事件的独立性,但是这个概念可推广到任意有限多个事件上去。
对于事件A1,A2,...,An，我们说它们是互相独立的，如果对于任何r（1≤r≤n）及
1≤i1＜i2＜...＜ir≤n（其中r，i1，i2，...，ir都是整数）有
P(Ai1*Ai2*...*Air)=P(Ai1)P(Ai2)...P(Air)。
显然，如果A1，A2，...，An相互独立，那么
P(A1*A2*...*An)=P(A1)P(A2)...P(An)。
--以上摘自《高等数学》（化、生、地类专业）第一册211-212页。书号：13012.096，人民教育出版社出版。
[另注：在原文中“A1,A2,...,An”的1,2,n 均为下标；“P(Ai1*Ai2*...*Air)”中的r（1≤r≤n），均为下标i的下标，Word中打不出，只好这样处理了]
对于自然数列 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,...里的任意的数x，除以2,3,5,...，r这些素数中的任意二个素数j，k时的余数，显然具有相互独立的特性，即被x除时：
余数同时满足等于ji、ki的概率，有
P(j*k)=P(j)*P(k)=(1/j)(1/k)
满足于该条件的数在数列中的任意连续的j*k个数中，必有1个；
而余数同时满足不等于ji、ki的概率，则有
P(J*K)=P(J)*P(K)=[(j-1)/j][(k-1)/k]；在数列中的任意连续的j*k个数中，必有[(j-1)(k-1)]个数。
(2≤j，k≤r；j≠k；ji=0,1,2,...，j-1；ki=0,1,2,...，k-1)
上面仅讨论了两个素数的余数的独立性,但是这个概念同样可推广到2,3,5,...，r这有限个素数上去，当x分别除以这些素数时的余数同时满足不等于2i、3i、5i、...、ri的概率，有
P(x)=P(2*3*…*n*…*r)
= P(2)*P(3)*…*P(n)*…*P(r)=(1/2)[(3-1)/3][(5-1)/5]*…*[(r-1)/r]；
回到《歌德巴赫猜想》问题上，对于任意一个大偶数M（令M/2=A）, 把其分成两个素数A-x与A+x 的x值该如何得到呢？
把≤√(M-2)的全部素数记作2,3,5,...，r ，那么当x 使A-x与A+x 能满足下列条件之一时，两个数都是素数：
条件a ：A-x与A+x同时不能够被≤√(M-2)的所有素数整除。这样的x 值的数量记为S1(m)；
条件b：A+x不能够被上述这些素数整除而A-x等于其中的一个素数。满足这样条件的x 值的数量记为S2(m)。
由上述的两种条件即可得到偶数M分成两个素数的全部x 值的数量S(m)，有
S(m)=S1(m)+S2(m)
把A除以≤√(M-2)的全部素数时的余数分别记作 2i,3i,…,ni,…，ri；那么当x除以这些素数时的余数不等于2i、3i及(3－3i)、…、ni及(n－ni)、…、ri及(r -ri)时，x值使A- x与A+ x能满足条件a而成为素数，而这样的x值在 [0，A-3]中的概率可运用独立事件的乘法法则,用P(m)来表达：
P(m)=P(2*3*…*n*…*r)
=P(2)*P(3)*…*P(n)*…*P(r)
=(1/2)*f(3)*…*f(n)*…*f(r)；
因而满足于条件a的x值，,它的概率计算值Sp(m)，有
Sp(m)=(A-2)*P(m)
=（A-2）*P(2)*P(3)*…*P(n)*…*P(r)
=（A-2）*(1/2)*f(3)*…*f(n)*…*f(r)；
式中：3≤ n≤r；f(n)=(n-1)/n, [In=0时]；或f(n)=(n-2)/n, [In>0时] .
在任意一段等于2*3*…*n*…*r 积的长度的自然数列中，x除以这些素数时的余数同时满足不等于2i、3i及(3－3i)、…、ni及(n－ni)、…、ri及(r -ri)时，x值的个数是个精确的整数值。由于[0，A-3]中的数的数量仅占（2*3*…*n*…*r ）积的长度的自然数列一部分，就会产生一定的概率计算的误差。
为了表达出概率计算值Sp(m)与真值S1(m)之间的关系，引用相对误差E(m)来表达：
E(m)=[Sp(m) -S1(m)] / S1(m)；
通过偶数M的相对误差E(m)的大小变化，可客观地反映概率计算值Sp(m)与原值S1(m)的相符程度。
部分偶数区间的偶数的概率计算值的相对误差 E(m)分区分布情况：
E(m): <-.4 [-.4~-.3)[-.3~-.2)[-.2~-.1)[-.1~.1] (.1~.2](.2~.3](.3~.4] >.4
-----------------------------------------------------------------------------------
[ 6 , 100 ] 1 2 4 7 20 7 2 4 1
[ 102 , 200 ] 0 0 0 11 28 6 3 1 1
[ 202 , 300 ] 0 0 2 9 32 5 1 1 0
[ 302 , 400 ] 0 0 2 13 27 6 1 1 0
[ 402 , 500 ] 0 0 0 15 32 3 0 0 0
[ 502 , 600 ] 0 0 5 6 36 1 2 0 0
[ 602 , 700 ] 0 0 3 7 35 2 2 1 0
[ 702 , 800 ] 0 0 1 6 37 5 1 0 0
[ 802 , 900 ] 0 0 0 6 41 3 0 0 0
[ 902 , 1000 ] 0 0 0 10 38 1 1 0 0
[ 1002 , 1100 ] 0 0 0 11 37 1 1 0 0
[ 1102 , 1200 ] 0 0 1 9 37 2 1 0 0
[ 1202 , 1300 ] 0 0 1 4 42 2 1 0 0
[ 1302 , 1400 ] 0 0 0 6 42 2 0 0 0
[ 1402 , 1500 ] 0 0 0 6 38 5 0 1 0
[ 1502 , 1600 ] 0 0 0 5 40 5 0 0 0
[ 1602 , 1700 ] 0 0 1 7 39 3 0 0 0
[ 1702 , 1800 ] 0 0 0 9 37 4 0 0 0
[ 1802 , 1900 ] 0 0 1 7 42 0 0 0 0
[ 1902 , 2000 ] 0 0 0 4 45 1 0 0 0
[ 10002 , 10100 ] 0 0 0 0 50 0 0 0 0
[ 10102 , 10200 ] 0 0 0 0 50 0 0 0 0
[ 10202 , 10300 ] 0 0 0 0 50 0 0 0 0
[ 10302 , 10400 ] 0 0 0 1 49 0 0 0 0
[ 50002 , 50100 ] 0 0 0 0 50 0 0 0 0
[ 50102 , 50200 ] 0 0 0 0 50 0 0 0 0
在该统计中，可看到：
在偶数较小的区间[ 6 , 100 ]里，偶数的相对误差E(m)值的分布相对的较分散；
随着偶数的增大，E(m)值的分布逐渐地向零位集中；
偶数较大时的区间里，大多数偶数的相对误差E(m)值集中分布在[-.10，.10]之中，故它们的概率计算值Sp(m)与真值S1(m)是比较接近的。
由此可看出S1(m)的概率计算方法是比较符合实际的。
结论：任意一个大偶数M， 把其分成两个素数A-x与A+x 的x值的数量只是一个概率问题，是能够进行计算的。
附录：
附上偶数6-500的实际存在的x值的数据与偶数200-300的数据折线图，可以眼见为实的看看概率计算与实际的相符的程度。
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发表于 2010-1-9 13:44
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