【趣味题】成等差数列的勾股数有多少？

风花飘飘

5^2-4^2-3^2===0（差1）

(1280)^2-(1024)^2-(768)^2===0（差256）

12960^2-10368^2-7776^2===0（差2592）

……

luyuanhong

勾股数要成为等差数列，只可能有下列两种解：

（一）(3d)^2+(4d)^2=(5d)^2 ，d∈I 。

（二）(-d)^2+0^2=d^2 ，d∈I 。

如果不允许出现 0 和负数，则只有上面（一）这种解。

风花飘飘

【代数表达式】：
a=(16*m^4*n^4*(m^2+n^2))
b=(16*m^4*n^4*2*m*n)
c=(16*m^4*n^4*(m^2-n^2))

【1】a-b=b-c   =>  a+c=2*b ：
(16*m^4*n^4*(m^2+n^2))+(16*m^4*n^4*(m^2-n^2))=2*(16*m^4*n^4*2*m*n)
即 32*m^6*n^4=64*m^5*n^5
得m=2*n

【2】a-c=c-b  =>  a+b=2*c ：
(16*m^4*n^4*(m^2+n^2))+(16*m^4*n^4*2*m*n)=2*(16*m^4*n^4*(m^2-n^2))
即16*m^4*n^6+32*m^5*n^5+16*m^6*n^4= 32*m^6*n^4-32*m^4*n^6
得3*n^2+2*m*n-m^2=0
解方程得
m1=3*n  
m2= - n（这个可以舍去）

【结论】：
当m=2*n与m=3*n时，可求得a、b、c为等差勾股数，这里暗含m与n都是正整数（主任说了√1,√2,√3,√4,√5……都是正整数）。

【拓展】：
因为由下式m与n数对表示的本身就是全部的勾股数组，就直接拿来用啦：
a=m^2+n^2
b=2*m*n
c=m^2-n^2

<1>把m=2*n代入得：
a=m^2+n^2  =5*n^2
b=2*m*n       =4*n^2
c=m^2-n^2   =3*n^2

<2>把m=3*n代入得：
a=m^2+n^2   =10*n^2
b=2*m*n        =6*n^2
c=m^2-n^2    =8*n^2

偶了，就这样吧！n取正整数（《单位论》里说了√1,√2,√3,√4,√5……都是正整数，呵呵）。

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