[原创]非标准分析推陈出点内空间

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[watermark]四、非标准分析推陈出点内空间
倒是美国数学家1960年鲁滨逊提出的非标准分析，与进入“点内”空间的假设接近。例如，“点内”是环面并存在三旋，如果事物运动因不作“大数因子”限定而能“进入”点内，那么像飞毛腿阿基里斯追不上龟、苹果落不到地、箭飞离不远弓多少之类的悖论是可能成立的。证明如下：这些东西运动大小事先没有“大数因子”限定，即这些东西在流逝中如果能变小进入点内，点内如果又存在环圈面，由于环面不同伦于球面，就不会出现像球面上圆心与球心重合的那些圆的“直线”虽然最长，以及这些直线即使出发时似乎是平行的，但是也要相交。并且相交，还不是一点而是两点的情况，即只要运动在球面，芝诺悖论不成立。但是如果是在环面上，因为圆线可以变为扭状，其平行线可以象一组互相环绕的圆以扭转的形式位于一层环面上，芝诺悖论可以成立。
1、这就是说，由于环面存在三旋，那么进入这种“点内”的龟、阿基里斯、苹果、飞箭等这些东西，就会有可能好似永远停留在“点内”的环面上，并且由于阿基里斯跟龟进入点内的时间有差别，还会有相位的不同。即在环面上赛跑的轨道还会是两条平行的直线，而不是在一条直线上。由此不管阿基里斯与龟的赛跑的速度差别多大，即使在环圈体的同一层环面上，运动也难在同一点相交。证毕。
但是两千多年，不管是平常人还是数学家、哲学家，很多人都掉进了芝诺与其老师巴门尼德设置的这个陷井里，因为他们辩驳芝诺悖论使用的武器，只能用如常识性观察的无穷小极限求和之类的公式，这不显得太粗糙了？他们低估了这两位古哲人的智力。如果芝诺他们连常识性的知识都分不清，怎能提出一系列有相同数学背景的悖论命题。
2、美国数学家鲁滨逊1960年创立非标准分析时，使用与进入“点内”空间的假设接近的办法，使非标准分析产生出既联系又有区别于标准分析的意思。因为标准分析是指柯西等人用极限方法建立起来的微积分理论。微积分同微分几何一样，强调函数的光滑和连续，但鲁滨逊看到：狭义相对论实验证明的光速不变，实际表明的是一条光线从宏观来看是连续的，即光轴不仅连续而且均匀；但从光的电磁理论上思维，光波是电磁波，而电磁波是由变化的电场圈态与变化的磁场圈态交替产生的，即从微观上看，光轴不仅不连续，而且不均匀。这反映在数字流形上，那么标准分析称的实数集合研究的有理数和无理数的集合，是指实数与直线上的点一一对应，实数的集合能是连续的吗？
因此鲁滨逊创立的非标准分析才认为：除实数之外，还应引进新的无限小量和无限大量，统称为超实数。超实数集合用*R表示。从宏观上看*R的数轴与数轴R一样，但从微观上看并不相同。在超实数轴上的每一点内，有许多非标准实数。这些非标准实数彼此相差无限小，形成一个有内部结构的点，这称为“单子”。每个单子只有一个标准实数。从标准实数来看，点与点是连续的；然而从点有内部结构来看，点与点又是间断的，超实数轴*R正是连续与间断的对立统一。
看来鲁滨逊已经走到了“大数因子”的门口，但他转向了。因为他只看到了“点内”是一些球面的景象，是球面的间断与连续，而没有看到还有圈态三旋的连续与间断，这本来在电磁波传播分析中的三旋场变换就已经充分地表现了出来的。当然，在“点内”，是既可以存在环面又可以存在球面的，有时仅是人的选择的不同而矣。
鲁滨逊的不足，因非标准分析，解决只是微积分学中求导、求和问题。但拓扑学中的约当定理，已证明在某些方面平面与球面等价，而与环面相区别。微分只因采用球面更方便而已，如求函数f（x）在D点的导数，按照标准分析在曲线f（x）上求D点的导数，指的是要求动点无限趋近于零但又不能等零；作微分三角形△ABD只能是近似的：在点以外要把弦与弧等同起来，在直觉上是想不通的；但在非标准分析中，允许动点A进入D点内，取D点“放大”的情况看，微分三角形△ABD比D点还要小，设△ABD是点内三角形，因而在点内把弦与弧等同起来，在直觉上是可以想象的。
但具体在哪些情况下，点外的事物能够进入“点内”，上面非标准分析仅是从微分求导上作了说明。遇到芝诺悖论一类的问题，它虽然比微积分极限求导、求和说得更在理，但它的内集论也仅是排除了人的观察责任的论证，这更证明非标准分析的内点奇景也是以球面取象；这种球面取象的结果当然也同微积分求导求和的结论一致：芝诺悖论不成立。因为球面上的两条大圆直线平行，仍然会在极轴两端相交，因此即使进入点内，飞毛腿阿基里斯也必然遇到龟。非标准分析排除人的观察责任，只是它的高明之处。
例如鲁滨逊允许动点进入点内的非标准分析，为无穷小运动的细节提供了细微的观察。因为在非标准分析的超实数轴*R上，实数点由整数、有理数和无理数等三类标准数组成，而与它们相联系的无穷小量则称为非标准数。无穷小非标准数比任何正标准数小而比零大，每一个标准数周围都凝聚着这样的混合标准邻居。另外，表示成n和n+1的无界非标准数，则是无穷小量的倒数，因为一个无穷小量非常小，其倒数将会非常大。但无界数尽管大，但它是有限的，即每一个无界数都比标准数大，而比无限实数小。
这样非标准分析不是把无穷小驱逐出去，而是为把人的观察责任驱逐出去作了准备：两个名数之间的算数差必然是名数，因而也是标准数。如果这一差值是无穷小，就违反了无穷小比所有标准数小这一意义。这一事实的结论是，一个无穷小间距的两个端点不能用名数来表示，因此一个无穷小的间距永远都不能通过测量来获得，无穷小永远都停留在观察范围之外，即无论是芝诺还是其他任何人，都将无法用图表示出一个移动的目标，在这一难以接近的区域内的进展情况。这样，我们就不必对解释我们无法观察的情况负责。这里有三层意思：A、从无法观察或无法测量判断，排除物体可以随便改变形状大小进入点内的可能；B、进入点内的无穷小，不会移动超出临近的实数；C、如果非标准分析的内点奇景不仅有球面，还有环面，那么芝诺悖论也不能成立。
3、狄拉克的“大数之谜”提示的是：我们人以及世间的事物，已经进入“点内”式的宇宙。即这个点，在量子力学方面是以无量纲大数1039为特征的宇宙。这是芝诺悖论证明的界面：如果龟相对阿基里斯的线度趋近于无穷小数，即“大数”之倒数，龟变得有如中微子那么小，龟就有可能进入地球这个“点内”，消失得无影无踪，飞毛腿阿基里斯当然就追不上了。这就是“大数因子”生出的多样性；也是“大数因子”对局域性与全域性之间的不协调问题，提供的理解。因为在“大数因子”的判定下，某个事物相较能进入“点内”，就类似意味着函数能发生一次可微或可导，方向也会产生转折。
4、我们说阿基里斯与乌龟悖论难不住希格斯场，因为高端希格斯场物理方程也要求是可微或可导的，这类似进入希格斯场也要进入“点内”，由此质量生成的模糊圈态可用模糊集理论直观证明：用一个数（隶属度）来表示某个元素对集的关系，这个数可以在0（即0%）到1（即100%）间取值，这就是隶属函数。如“年轻人”这类不能成为集的概念，利用隶属函数就能取得合法的身份，变成为新意义下的“集”。但这种集的边界是不清晰的，所以叫它“模糊集”。有了模糊集的隶属度概念，就能举一反三建构模糊数轴，并能用来研究无穷小量。例如有的分数能化成循环小数或不循环小数，即它们的小数点后面的位数可以无限延长下去，无穷小量与此类似。也就是说这些数的尾数边界是模糊的，但如果把隶属度看成是小数点后第n位，这一定下来它们的集就能取得一个个确定的值。即模糊数轴的隶属函数是两个定数之间的集合，反映出一种陷落或数锥式的运动，这是不同于现代模糊数学之处。
例如，如果规定实数是在一根直线上，虚数是在直线外，那么从0.9，0.99，0.999……以及1.01，1.001，1.0001……这种从两端向中间无限陷落而不可接近或离开1的集合状态，可以理解为整数既是奇点又具有奇环性或数旋性，它周围存在陷落。这种陷落靠模糊数轴实数集和虚数集联系起来，从而使我们熟悉的数轴变活了。联系希格斯质量，也变成了一种量子整数线旋圈态，模糊地可感觉到它有粗度、在转动，显现出鲜明的层次与阶段之分。即整数点到粒子的自然意义，实际是空间量子圈态线旋的奇环性表现。
以上模糊数轴的分析除直线上的数是实数外，也说在它的陷落周围还存在虚数，构成了整数连续与分立之间的链状统一。反过来看质量空间，过去通常是用没有去联系普通点和这种点组成的直线坐标描述。即使1920年韦尔用微分对空间作规范场分析时，也采用是这种普通数轴而不是模糊数轴，所以他没觉察出会有虚数项。但后来杨振宁教授沿规范场分析，用相位因子补上这个虚数项，即方程差了一个i，即－1的平方根。
5、类此，量子质量除实数外也可存在虚数。于是我们又可以说，希格斯类似鲁滨逊走到了“芝诺坐标”的门口，他看到了“点内”空间。我们还可以说，不局限自然科学的物质，从思维科学角度来考虑“物质”。这正是我们中国人喜欢把“质量”泛化的方式。是否可以用自然科学评价“物质”的质量来评价社会科学“做事”的质量？
众所周知，希格斯场只是用来说明基本粒子“质量”起源的理论，是把基本粒子在希格斯场遇到的“阻力”的大小，来等价于该物质的“质量”的。这里的“阻力”既有希格斯场的原因，也有物质自身的原因。从自然科学的物质的“质量”来说，从牛顿开始，是与“力”、动量、能量相关。那么“质量”泛化能类比希格斯场吗？能。
因为“阻力”也是“力”的一部分。不管是“斥力”还是“引力”，都是克服“阻力”，所以泛化质量类似计量“斥力”还是“引力”，也有类似在希格斯场里的“阻力”。不管是成功还是失败的“做事”，也是类似克服“阻力”或被“阻力”拦住的结果。如果希格斯场已经被扩容为“芝诺坐标”，可知更难不住对“质量”泛化的破解。反之，自然阿基里斯与乌龟的悖论已包括在其中了。
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