[原创]研究历史难题必须思路创新

雷明85639720

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研究历史难题必须思路创新
雷  明
（二○一二年八月二十六日）
这是我二○○○年的作品，现在我把它在《数学中国》网上发表如下：
研究历史难题必须思路创新
雷　明
一、什么叫历史难题
所谓历史难题就是自提出至今百年甚至几百年未能解决的问题，例如四色猜测，哥德巴赫猜想，等等。这一类问题的提出，它不是随便就提出来了，而是从社会实践中通过对大量（注意，是大量而不是无穷）的个别现象或事物（即一些个体）观察而得出的一些有规律性的结论，由于还不知道它是否适合于所有事物（即全体或整体），所以一般都只能叫做猜想、猜测之类。只所以这样命名，是因为它还没有被从理论上证明对于所有事物来说是正确还是错误的。象这一类问题，一般来说都是正确的，因为它的提出不是凭空想象的，而是建立在大量的事实或实践之上的，但是由于没有被理论证明，也就不可能上升为理论，而只能叫做猜想或猜测 。
二、个体与总体、个别与一般的问题
为什么有些猜测、猜想长时间不能被证明呢？这要得从证明的方法上说起。这里有一个一般和个别、整体和个体的问题要搞清楚。提出问题是建立在个别和个体之上的，通过证明后要使之建立在一般和整体之上。那么，证明的起点就得立足于整体之上，而不能再立足于个体之上。历史上对象四色猜测和哥德巴赫猜想的证明就存在着这方面的的错误，它们都不是站在整体之上，而仍旧是站在个体之上，当然也就无法把无穷个个体都一一验证完，这也就是钱老所说的对于这一类问题，人“一辈子时间也证不完”，的确也是这样，老是这样下去，的确是一辈子时间也证不完的，每人都是这样做，一代一代人也都是这样做，那也就不可能得出猜测（或猜想）是正确还是错误的结论，猜测永远也只能是猜测，永远也就不能上升为理论。这种证明办法实际上还是处在问题的提出——猜测阶段，不能叫做证明。
三、四色猜测的简述及历史上证明出发点的错误
四色猜测是由对地图染色而引起。由于地图是平面图，而它的对偶图（即把各国的首都或各区划的中心城市作为新的顶点，把有公共边界的相邻国家的首都或相邻区划的中心城市，即新的顶点，用新的边连结起来所得到的新图）也是平面图，所以给地图面（区划）上的着色，实际上就是对其对偶图的顶点的着色，这样就把一个地理学的问题转变成了一个数学问题了。实践已证明了很多的平面图顶点着色时最多四种颜色也就够用了，现在要证明，对于任何一个平面图来说，命题成立不成立。“平面图”本身就是一个无穷集合，而且它还只是属于“图”这个无穷集合的一部分，“平面图”只是“图”的一个子集合。只有立足于“图”（总体）的角度，至少也要立足于“平面图”的角度，对猜测去进行证明才有可能得出最后的结论，而历史上的许多人都是在不停的对个别的平面图（个体）去进行着色，那怎么能得出最后的结论呢，着色的图再多，即就是用色都不多于四种，也只能是停留在猜测阶段。
四、哥德巴赫猜想简述及历史上证明出发点的错误
哥德巴赫猜想是一个数论上的问题，但它所研究的对象却也是一个无穷集合，如自然数集合，奇数集合，偶数集合，素数集合，奇素数集合等。“任何偶数都是两个素数的和”这一命题能否成立，证明时也必须立足于整体——全体偶数之上，而不能去对一个个的偶数去进行检验。最大的偶数，最大的素数有多大，谁也不知道，当然也就无法证明了。所谓的“筛法”也是无法对猜想进行证明的，因为你的筛子做得再大，也无法把所有素数都能筛出。偏妙得很，历史上所有试图证明该猜想的人，都是在想把自己认为很大的偶数（个体）写成两个素数的和，包括我国的陈景润的“１＋２”的结论也只是认为“一个非常大的偶数是两个素数的和或者是一个素数与其他两个素数之积的和”，而不是“一个任意的偶数”或“所有的偶数”（总体）。所以说，现在所有的证明也还只是停留在猜测阶段。
五、两个数学证明的例子
对于这样的历史难题，应如何去进行证明才能得到原命题是正确还是不正确的结论呢？下面先看两个例子。
1、平面三角形的内角和等于180度的证明
要证明平面三有形的内角和都等于180度，就必须知道“平面三角形”是一个总体，各种各样的平面三角形有无穷多个，而某个三角形则是个体，只是平面三角形这个无穷集合（总体）中的一个元素（个体），所以要证明这个命题的正确与否，就不能对一个个的三角形的内角去进行测量，而必须要用平角是180度的定义及两平行线与第三条直线相交时其同位角和内坐角分别相等的定理。任意画一个平面三角形，采用从一个角顶画一条边的延长线和作该角的对边的辅助平行线的办法去进行证明。只有这样，所得到的结论“平面三角形的内角和都等于180度”，对于任何一个平面三角形才都是成立的。
2、一元二次方程求根公式的推导
同样，某一个一元二次方程，只是“一元二次方程”这个无穷集合中的一个元素。不能通过用“配方法”解很多个（有限的）一元二次方程，来证明一元二次方程有且只有两个根这一命题的正确与否，而只能对一元二次方程的一般表达式Ax2＋Bx＋C=0，采用配方法求出一个通解，并说明该通解只可能是两个且只有两个根，而不可能更多或更少。这个通解一定是适用于任何一个方程的。这样，以后对于任何一个一元二次方程，就不须非得要用配方法去解了，只要把该方程的三个系数代入该通解——求根公式中，即可求出该方程的两个根。
六、历史难题的证明方法
在数学中类似于四色猜测和哥德巴赫猜想的猜测和猜想还很多，这里只能就这两个猜测（猜想）的证明谈一点看法。
1、四色猜测证明的新思路——图论方法
对于四色猜测的证明，首先要着眼于任意的图（总体），而不要只着眼于某些具体的平面图。任何一个图，它都有一个最大团，该团的顶点数就是该图的密度。图中不相邻的顶点不但可以着同一颜色，而且可以通过凝缩的办法同化为一个顶点，这就把着色与同化联系起来了。每一个图进行同化后，都存在一个最小完全同态，该同态再也不可能进行同化了，它有多少个顶点，着色时就得用多少种颜色，这时再按同化时的逆向连同已着的颜色返回到原图，这个图的着色就已完成。很明显，最小完全同态的顶点数一定是不小于该图的密度的，这就可以确定图顶点着色色数的下界决不会小于图的密度。最关键的问题是求其上界。通过对图的结构的分析可知，某个最大团外的道路中的顶点，在与最大团的相邻关系最复杂时，一条道路中最大只可能有一个顶点同化不到该最大团中去。有多条上述道路的情况，在它们之间，当顶点相邻关系最复杂时，最多也只可能有相当于该图密度值一半数量的顶点同化不到最大团中来。所以图顶点着色色数的上界只能是其密度值的1.5倍。这个界对于任何图都是适用的，当然平面图也一定适用。已知平面图的密度不大于4，代入色数的界中得到：当平面图的密度小于4时，其色数都不大于4，而当图的密度等于4时，是乎色数有大于4 的可能，但是在这种情况下的图已经不再是平面图了，而是一个非平面图，因为四色猜测的提出只是局限于平面图范围之内。到此，就使猜测得到证明是正确的。平面图四色猜测得到了证明，地图四色猜测也就同样得到了证明。有关四色猜测的证明，请见笔者的论文《图论法证明四色猜测》（或叫《任意图顶点着色色数的界的确定及四色猜测的证明》），该文已于1994年9月27日在陕西省数学会学术年会上作过报告（延安大学）。有了任意图顶点着色色数的界，不但可以证明四色猜测是正确的，也可以证明1964年V•G•Vizing提出的图的线色数的界只有下界是正确的，还可证明1965年Behzad提出的全着色猜想则是错误的，只有当原图的最大度小于等于３时，这两个色数猜测才是正确的（也请见《图论法证明四色猜测》一文）。
2、哥德巴赫猜想证明的新思路——集论方法
对于哥德巴赫猜想的证明，则要用集合论中数集的方法。因为素数集合（总体）中除了唯一的偶素数2以外的其它所有素数都是奇数，所以在奇素数集合（总体）中的任意两个数（个体）的和都一定是偶数，包括自身相加也在内。由于奇素数集合是一个可数集合，所以如果用其中的每一个元素都与该集合中所有的元素都相加（包括自身相加）一次，可以得到可数个可数集合，这可数个可数集合的并集也是一个可数集合。由于数值最小的奇素数是３，而３＋３＝６，所以这个并集中数值最小的元素是６，且都是偶数。现在只要证明该并集是不是由所有大于等于６的偶数构成的集合就可以了。用数集的观点是可以证明这个集合就是大于等于６的全体偶数构成的集合。到此，就证明了任何大于等于６的偶数都是两个奇素数的和是正确的。偶数４又是唯一的偶素数２自身相加的结果，把这一结论与“任何大于等于６的偶数都是两个奇素数的和”结合起来，就可得到“任何大于等于４的偶数都是两个素数的和”的结论，猜想是正确的，即“１＋１”是正确的。这里得到的是“任何大于等于４的偶数”，而不是“一个非常大的偶数”。继续通过推导，还可证明猜想的另一部分“任何大于等于7的奇数都是三个素数的和”这一猜想也是正确的，即“１＋１＋１”也是正确的。这一证明猜想的方法请看笔者所写的《集论法证明哥德巴赫猜想》的论文。
七、要吸收前人的经验，但不迷信前人，更不能死搬硬套
以上解决两个猜测的方法，虽然没有走前人的路，但也是在与前人走了同样的弯路以后而寻求的方法。这对于解决这两个难题来说，可以说是一个创新，但对于整个数学证明来说又不是创新，因为很多问题就是通过这样的证明而解决的，至于对于其它的猜测、猜想，这个思路能否行得通，还有待于进一步研究，也不能一概而论，千篇一律。我在谋求证明四色猜测中虽然走了弯路，但我却对自1890年构造出来至今已有一百五十多年而未能4—着色的Heawood－图进行了4—着色，这虽然不等于猜测就得到了证明，但却搬掉了一块阻碍四色猜测证明的拌脚石，更加坚定了我对四色猜测证明的决心。我的成功也是在前人工作的基础上取得的，没有Kempe的颜色交换法，我也就不可能对Heawood－图成功的进行4—着色。请参考笔者所写的《Heawood－图的4—着色》的论文，该论文已于1992年3月18日在陕西省数学会第七次代表大会暨学术交流会上作过报告（西安空军工程大学）。
对于解决这样的历史难题，首先要了解前人的方法，但不能死搬硬套的摸仿下去，要分析前人未解决的原因，找到新的解决问题的办法。前人的经验要吸取，但不要迷信，要敢于创新，才能有所获得。
八、对敢于向难题挑战者要热情的支持
对于解决四色猜测和哥德巴赫猜想，我认为现在有这么一股思潮很不对头。数学大师们动不动就在报纸上，电视里发表一通议论，不让人们去研究，什么国外搞的人都很少，为什么我国有那么多人热衷于此呢，等等。怪不得陈景润的文章是由外国人最先发现的。他们所收到的有关论文不是看了以后用卷宗收藏，而是看也不看就往麻袋里一塞。人们给他们寄去论文，就是想叫他们给看一下，而他们这样的态度实在是对别人的劳动太不尊重了。要你们看，是出于对你们的尊敬。你们不搞，别人搞，应该鼓励，而不应该阻止。如果大家都不去搞，猜测什么时候才能上升到理论高度呢。我是已碰够了壁的，苦头也吃够了，所寄出的东西要么是石沉大海，要么是退了回来，一点儿反馈信息也没有。我的两次学术报告虽然当时在座的专家们还有兴趣，也积极提问，但过后谁也不再过问此事。可见数学大师们的影响是多么的大，以至于在数学界里对解决历史难题竟是如此的冷漠。
九、人与电子计算机的关系
还有一个问题，现在人们认为电子计算机什么都会做，比人还要聪明，我认为这种说法是错误的。既然是这样，那么计算机为什么不能解决哥德巴赫猜想呢，这是因为人还不会证明它，所以还不能把证明的方法编成程序告诉给计算机，它也就不会证明。这里请注意，无论什么时候都不能记忘记计算机是人创造的，而且是要人去操作的，没有人它什么也不知道，只不过它的运算速度比人快得无法比拟而已。计算机会解一元二次方程，是因为人把解一元二次方程的求根公式告诉给了它，它按人的意志去运算就是了。所谓电子计算机证明了四色猜测，这种说法是错误的，那不叫证明，而只能叫做着色实践，因为它仍面对的是个别的图（个体），仅管它的个体也很多，而它只是在按人编写的着色程序在对有限个图进行着色，仅管都只是用了不多于四种的颜色，也不能算作证明。
十、解决历史难题必须思路创新
象诸如四色猜测和哥德巴赫猜想这样的问题，只所以能成为历史难题，就是因为某种原因，如方法问题，学科归属问题，超前提出，而解决它们所需要的学科理论还没有产生或者还不完善，等等，总之都是方法的问题。要解决一个问题或做一件事，方法不正确，或者说使用的工具是错误的，那么你花再大的气力也是没法解决和没法完成的。四色问题是一个图论问题，也是一个无穷集合和问题，不是简单的对几个图进行4—着色就能证明了的问题；哥德巴赫猜想是一个数论问题，也是一个无穷集合的问题，也不是简单的把自认为是非常大的偶数能写成两个素数的和就能证明得了的问题。解决这两个问题，必须立足于总体观点之上，立足于无穷集的观点之上，用图论的观点，集合论的观点，得到对于总体中的任何一个个体，原命题是全成立或者全不成立，才能得出原命题是正确或者是不正确的结论。四色猜测提出于1852年（另一说为1840年），哥德巴赫猜想则更早，提出于1742年，可以说那时图论和集合论还没有形成一门完整的学科，或者说其理论还根本就不成熟，在这种情况下要解决这样的问题当然是不可能的。而只有在图论和集合论已发展成为一门成熟的完整学科的今天，才能找到合适的方法或工具，使这样的问题得到解决。如果在今天，还坚持前人已用的方法，走前人的老路，恐怕就不行了，那将永远也得不到正确的结论，猜测也只有永远是猜测，永远也上升不到理论的高度。要使这样一类的历史难题得到解决，就必须要创新，要有新的思路，走前人没有走过的路。
我只有这样，把我的观点写成这种形式的论文，让全社会去议论，去评说，也乎吁全社会来抵制对研究历史难题极不重视的歪风。也希望各宣传媒体的编辑给以大力的支持，给以刊登。
雷  明
二○○二年九月十二日于金堆城
雷  明
二○一二年八月二十六日于长安发表

任在深

对！
因为现代的数学没有正确的理论基础，所以才产生那么多的“猜想”！？

塞上平常心

"要使这样一类的历史难题得到解决，就必须要创新，要有新的思路，走前人没有走过的路。"
赞成！！！
因此，你若想研究这类问题必须了解前人是怎么研究的。

任在深

只是思路创新还不够！
而是数学的整个理论基础要纠正错误，改革创新！！
集合论，ZFC体系是不完备的数学体系是不符合自然法则的错误体系！！

塞上平常心

下面引用由任在深在 2012/08/28 09:12am 发表的内容：
只是思路创新还不够！
而是数学的整个理论基础要纠正错误，改革创新！！
集合论，ZFC体系是不完备的数学体系是不符合自然法则的错误体系！！

改革是必然的。
不过，这要看自己的能力了。有这种能力不妨来个改革创新；能力小者也可来点小问题玩玩；再不行也可以自娱自乐……
祝先生改革成功！

任在深

下面引用由塞上平常心在 2012/08/28 03:45pm 发表的内容：
改革是必然的。
不过，这要看自己的能力了。有这种能力不妨来个改革创新；能力小者也可来点小问题玩玩；再不行也可以自娱自乐……
祝先生改革成功！

感谢您的祝福！
   

硬度

哈哈，我就是来看看，看了，很仔细地把主帖看了，很平静！没啥感觉！

雷明85639720

本文也只是提出了研究难题时，既要了解前人的经验，但不能死搬硬套，钻死胡洞，要另辟溪径，要思路创新。本来就是平静的，你要有啥感觉呢。这里只提出观点，不涉及具体的问题。你要有感觉，你可以在这个网上看我以前的一些文章。然后我们再互相交流。

雷明85639720

本文也只是提出了研究难题时，既要了解前人的经验，但不能死搬硬套，钻死胡洞，要另辟溪径，要思路创新。本来就是平静的，你要有啥感觉呢。这里只提出观点，不涉及具体的问题。你要有感觉，你可以在这个网上看我以前的一些文章。然后我们再互相交流。0!

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    人家的成果早已录入国家科技成果库了，然而雷明你的“用集论方法证明哥德巴赫猜想的设想 ”把抄袭来的东西又歪曲成荒诞的东西竟然还在吹捧炫耀！若不立即终止你的抄袭侵权行为，将承担法律责任！